Контрольная работа по "Математике"

1. Постановка задачи и исходные данные

Задача №1

 

 Решить систему  линейных алгебраических уравнений  методом простых итераций с  точностью до  . Вычислить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности. Вычислить невязку.

 

Задача №2

Решить систему  линейных алгебраических уравнений  методом Зейделя

с точностью  до . Вычислить количество итераций, необходимых для

достижения заданной точности. Вычислить невязку.

Решить систему  линейных алгебраических уравнений с помощью

функции lsolve с точностью до . Сравнить величину невязки во всех

трех методах  и сделать вывод о точности методов. На основании количества

итераций сделать вывод о  скорости сходимости методов.

Исходные данные.

2. Общие формулы, используемые для расчёта

 

 

 

 

 

 

 

3. Решение и результаты в виде графиков и таблиц

Задача №1

Первоначальная  матрица:

 

 

 

 

 

Решим систему Ax = b с помощью функции lsolve и найдем невязку

 

Преобразованная матрица:

Приведем матрицу А к диагональному  преобладанию

 

 

Приведем систему к итерационному  виду x=Bx+c

 

Вычислим норму матрицы B

 

 

Зададим начальное приближение  и рассчитаем корни по формуле 

 

Начальные приближения:

 

 

№
1	1.327818	0.022574	0.3443	1.327818	0.0001
2	1.28546	-0.437746	0.099141	0.460321	0.0001
3	1.340114	-0.37465	0.113164	0.063096	0.0001
4	1.334961	-0.393567	0.102234	0.018916	0.0001
5	1.337309	-0.389797	0.10344	0.00377	0.0001
6	1.336957	-0.390734	0.102956	0.000937	0.0001
7	1.337067	-0.390531	0.103034	0.000203	0.0001
8	1.337046	-0.390579	0.103011	0.000048	0.0001

 

Условие выполняется на 8 итерации.

Невязка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2

Приведем систему, полученную в предыдущей задаче к итерационному виду

 

Вычислим нормы матриц  и проверим достаточное условие сходимости

Для того, чтобы  метод Зейделя сходился достаточно нормы матриц В1 и В2 удовлетворяли  условию:

Проверим это  условие:

0,499802

 

Условие выполняется, значит метод Зейделя сходится.

Зададим начальное приближение  и рассчитаем корни по формуле 

 

 

№
1	1.327818	-0.366568	0.104393	1.3278177	0.000342
2	1.335563	-0.390419	0.103287	0.0238514	0.000342
3	1.33701	-0.390615	0.103023	0.0014472	0.000342
4	1.337052	-0.390573	0.103014	0.0000423	0.000342

Условие окончания  выполняется на 4 итерации.

 

Невязка:

 

4. Вывод

В ходе выполнения данной лабораторной работы было произведено решение системы двумя методами: методом простой итерации и методом Зейделя. Для нахождения по методу Зейделя понадобилось 4 итерации, а по методу простых итераций – 8. Самым оптимальным будет являться метод Зейделя.