Контрольная работа по "Математике"

1. Даны вершины ∆АВС: А(-1; -1), В(-7; 2), С(-4; 3). Найти: 1) длину стороны АС;     2)  внутренний угол С в радианах;  3)  уравнение высоты к АС;   4)  уравнение медианы СМ;  5)  точку пересечения высот; 6)  точку пересечения медиан;   7)  расстояния вершины В до стороны АС;  8)  составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник;  9)  выполнить чертеж с нанесением всех рассчитанных прямых точек.

Решение:

1) найдем длину стороны  АС  ,

2) найдем соsС по формуле , , и получим , тогда внутренний угол С в радианах равен 1,89.  

3)  уравнение высоты  к АС будет иметь вектором  нормали вектор АС, т.е. -3х + 4у + D = 0. Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению:    -3^.(-7) + 4^.2 + D = 0   или    D = -29.  Тогда уравнение высоты к АС имеет вид -3х + 4у - 29 = 0.

4) для того, чтобы составить  уравнение медианы СМ, найдем  координаты точки М (как середины  АВ) и . Тогда уравнение прямой СМ имеет вид:  .

5)  уравнение высоты  к стороне АС имеет вид  -3х + 4у - 29 = 0 (см. п.3).

уравнение высоты к ВС будет  иметь вектором нормали вектор ,     т.е. 3х + у + D = 0 . Координаты точки А должны удовлетворять этому уравнению:    3 ^.(-1) + 1 ^. (-1) + D = 0   или D = 4.  Тогда уравнение высоты к ВС имеет вид 3х + у - 2 = 0.

Точку пересечения высот  найдем, решив систему  или .

Для высоты к стороне АВ вектор является вектором нормали, т.е. уравнение высоты имеет вид -6х +3 у + D = 0. Координаты точки С должны удовлетворять этому уравнению:    -6 ^. (-4) + 3 ^. 3 + D = 0   или    D = -33.  Тогда уравнение высоты к   АВ   имеет вид      -6х +3 у - 33 = 0.

Тоска пересечения двух высот  принадлежит и этой высоте

6)  уравнение медианы  СМ имеет вид:  (см. п.4).

Для того, чтобы составить  уравнение медианы, проведенной  из точки А, найдем координаты середины ВС и .

Тогда уравнение медианы  имеет вид:  .

Точку пересечения медиан найдем, решив систему  или .

Для того, чтобы составить  уравнение медианы, проведенной  из точки В, найдем координаты середины АС и . Тогда уравнение медианы имеет вид:  .

Тоска пересечения двух медиан принадлежит и этой медиане

7)  Запишем уравнение  прямой АС  . Тогда расстояние от вершины В до стороны АС 

8)  уравнение прямой  АС имеет вид  . Точка В должна удовлетворять неравенству ( ), тогда получим: .

уравнение прямой ВС имеет  вид  . Точка А должна удовлетворять неравенству ( ), тогда получим: .

уравнение прямой АВ имеет  вид  . Точка С должна удовлетворять неравенству ( ), тогда получим: .

 Система линейных неравенств, определяющих треугольник имеет  вид  .

 

2. а)  Найти базисное решение для системы уравнений (одна из свободных переменных – х₄)

 

Решение:

Будем искать базисное решение  методом Жордана-Гаусса

А1	А2	А3	А4	А5	В
0	1	1	1	1	2
-1	2	-1	-1	3	-4
2	1	0	3	-1	7
1	5	1	4	4	7

 

0	1	1	1	1	2
0	7	0	3	7	3
0	9	2	5	9	7
1	5	1	4	4	7

 

0	1	1	1	1	2
0	7	0	3	7	3
0	7	0	3	7	3
1	4	0	3	3	5

 

0	1	1	1	1	2
0	7	0	3	7	3
0	0	0	0	0	0
1	4	0	3	3	5

 

0	1	1	1	1	2
0	1	0	3/7	1	3/7
1	4	0	3	3	5

 

0	0	1	4/7	0	11/7
0	1	0	3/7	1	3/7
1	0	0	-9/7	-1	-23/7

 

Т.о. базис образуют вектора  А₁, A₂, А₃, а  х₅=0. Тогда базисное решение для системы уравнений, в котором одна из свободных переменных – х₄,   (-23/7, 3/7, 11/7, 0, 0).

Ответ:  .

2. б) Решить систему уравнений методами Гаусса, обратной матрицы и по формулам Крамера

Решение:

Найдем  определитель основной матрицы  системы.

,   следовательно  .

Видно, что ранг расширенной  матрицы равен рангу основной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли данная система совместна.  При этом ранг системы равен количеству переменных системы, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем решение методом Гаусса  

1. .

Метод Гаусса:     ,  , 

 

2) Найдем решение методом обратной матрицы.

Определитель основной матрицы  системы не равен нулю. Следовательно, обратная матрица существует.

        .

   

3) Найдем решение методом  Крамера. 

расширенная матрица системы  уравнений

 

	5	-6	4
D=	3	3	2	=	-40
	4	-5	2
	3	-6	4				Х1=	-0,2
D1=	2	3	2	=	8
	1	-5	2
							Х2=	0,1
	5	3	4
D2=	3	2	2	=	-4
	4	1	2
	5	-6	3				Х3=	1,15
D3=	3	3	2	=	-46
	4	-5	1

 

3.  Задать матрицу на множестве целых чисел по представленным схемам и выполнить действия:

^{Найти  , если: .}

Решение:

,  

_{Найти АВ-ВА, где} 

  .

^{Найти  , если: .}

Решение:

.

_{Найти АЕ, где} 

.

_{Найти ЕА, где} 

4. Найти пределы функций

Решение:

a) 

б) 

в)   , 

(т.к. 

) – 1-ый замечательный предел, следствие )

 г) 

(т.к. 

– 2-ой замечательный предел)

5. Найти производные функций:       а)   ;       б)   ;      в)   ,             г)  .

Решение:

а)  Находим производную  данной функции по правилу дифференцирования суммы:

.

б)    Находим производную  данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

 

в)   Находим производную  данной функции по правилу дифференцирования суммы

.

г)    Находим производную  данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

.

6. Исследовать функцию и построить еe график 

Решение:

1. Областью определения  данной функции является    

    Областью значений  данной функции является    

2. Функция не является ни четной и ни нечетной функцией, т.к. .

3. Точек пересечения с координатными осями нет.

4. Точки разрыва и асимптоты: 

Общее уравнение наклонной  асимптоты: y = kx + b;

 

Итак, наклонных (горизонтальных) асимптот нет.

5. Возрастание и убывание  функции, точки экстремума.

Найдем производную функции  .

Найдем критические точки: . Точка делит область определения на интервалы    ,  и .

Составим таблицу:

			1
	-	-	0	+
	убывает	убывает	min	возрастает