Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа № 2

1.       Найти неопределённый интеграл:

Введем и перейдем к интегралу от рациональной функции:

Возьмем данный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

Данный интеграл возьмем интегрированием по частям:

Теперь вычисляем определённый интеграл:

3.

Введем и перейдем к интегралу от иррациональной функции:

Введем   и перейдем к интегралу от рациональной функции:

Итак:

Далее вычисляем определённый интеграл:

4. Решить дифференциальное уравнение:

Данное уравнение является однородным, так как оно может быть

представлено в виде: , где:  

Введем переменную z=y/x и получим уравнение с разделяющимися переменными.

Так как  , то , в результате:

Теперь переходим назад к переменной y и получаем, что решением уравнения является неявная функция:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

(фигура расположена в первой четверти).

Перепишем условие:

Найдем абсциссы точек пересечения линий:

X1=2

x2=3

Построим чертеж:

Из этого схематического чертежа видно, что площадь искомой фигуры ограничена

двумя параболами, смещенными на 2 друг относительно друга и прямой.

Найдем площадь следующим образом:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция:

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры a и b). Выяснить какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные.  Сделать чертеж.

Найдем необходимые для расчетов суммы

Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы:

Примечание: Искомые суммы содержатся в последней строке таблицы.

Составим систему нормальных уравнений:

Так как n=5, , имеем:

Решаем эту систему и находим коэффициенты a и b:

Итак, линейная зависимость для аппроксимации данных:

y=0,48x+14,4

Сведем все данные в таблицу. Вторая строчка –экспериментальные, 3-я – аппроксимированные линейной зависимостью, четвертая – аппроксимированные кубической зависимостью.

Соответствующие кривые построены на рисунке.

7. Используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена, вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл.

Стандартное разложение для функции в ряд Маклорена:

После замены x на Для нашей подынтегральной функции имеем:

Возьмем интеграл:

Член мы отбросили, так как он <0,001 (по теореме Лейбница)

6