Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №1

Задание 112

Даны матрицы:

,    ,  ,  

Найти матрицу  С=А∙В, обратную матрицу С^-1 (и сделать проверку);

решить систему  СХ=b с помощью обратной матрицы. 

Решение

  × =

=

Найдем обратную матрицу С^-1 :

,

С_ij – алгебраические дополнения всех элементов матрицы С.

Вычислим определитель матрицы С разложение по первой строке:

Найдем алгебраические дополнения матрицы: 

                     

                    

                        

Тогда обратная матрица равна:

Сделаем проверку:

Решим систему СХ=b с помощью обратной матрицы:

Х=С^-1´b=

 

Задание 122

Используя теорему  Кронекера – Капели, доказать совместность системы линейных уравнений

Найти общее  решение методом Гаусса и какое-либо частное решение. 

Решение

Запишем систему  в матричном виде и приведем ее к ступенчатому виду:

Система совместна  и не определена, найдем общее решение:

Имеем частное решение:

Пусть х₁=0, х₂=0, тогда х₃= 5, х₄=3. 
 

 

Задание 132

Даны точки  А(3, 0, -1), В(2, 1, -2) и С(1, 0,-3). Вычислить:

а) скалярное  произведение ( )( );

б) векторное  произведение ( )х( );

в) смешанное  произведение . 

Решение

Найдем координаты векторов:

а) ={-1-2∙2;  1+2∙0; -1-2∙2}={-5; 1; -5}

={-1+3∙1; 1+3∙1; -1+3∙1}={2; 4; 2}

Найдем скалярное  произведение:

( )( )=-5∙2+1∙4-5∙2=16 

б) Найдем векторное  произведение:

( ) ={1-2∙2; -1+2∙0;  1-2∙2}={-3;-1; -3}

( )х( )=

в) Найдем смешанное  произведение :

=

=  

 

Задание 142

Даны вершины  треугольника А₁(0, 2); А₂(-3,6) и А₃(4, -1). Составить уравнения медианы А₁М и высоты А₁Н, проведенные из вершины А₁. 

Решение

Составим уравнение  высоты А₁Н. Высота А₁Н перпендикулярна стороне А₂А₃.

Уравнение высоты А₁Н составим по известной точке А₁(0; 2) координатам вектора

А₂А₃ ={4+3; -1-6}={7; -7}:

7(х-0)-7(у-2)=0

7х-7у+14=0

х-у+2=0 – уравнение А₁Н.

Уравнение медианы  А₁М, проведенной из вершины А₁, составим по координатам двух точек А₁ и М. Координаты точки А₁ известны, а координаты точки М находим как координаты середины отрезка А₂А₃ по формулам деления отрезка пополам:

- уравнение медианы А₁М. 

 

Задание 152

Найти точку Q, симметричную точке Р(1, 3, -4) относительно плоскости

Решение

Найдем параметрическое уравнение прямой PQ по вектору нормали и координатам точки М(2, -1, 1):

Найдем пересечение  прямой PQ и плоскости:

Точка пересечения прямой и плоскости делит отрезок PQ пополам, отсюда:

Точка имеет  координаты Q(7, 5, -8). 
 

 

Задание 169

Линия на плоскости  задана уравнением в полярной системе  координат: .

а) построить  линию по точкам, придавая φ значения с шагом 15^о (вычисления проводить с двумя знаками после запятой);

б) перейти от полярного уравнения к ее декартову  уравнению и построить кривую. 

Решение

а) Вычислим значение функции для каждого значения φ:

 

 Построим  график функции:

б) Преобразуем уравнение линии в декартовы координаты:

Имеем:

Построим кривую:

 
 

 

Задача 172

Даны комплексные  числа  и .

а) Вычислить ;

б) найти модуль и аргумент числа z;

в) записать число  z в тригонометрической и показательной формах;

г) используя  формулу Муавра, представить в  алгебраической форме число  ;

д) найти все  значения корня и построить их на комплексной плоскости. 

Решение

а)

б)

в)  Тригонометрическая форма:

Показательная форма:

 

г) Пользуясь формулой Муавра , найдем .

 

д) Пользуясь формулой