ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОЛГОДОНСКИЙ  ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (ФИЛИАЛ)

ФЕДЕРАЛЬНОГО  ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Контрольная работа

на  тему___________________________________________________________

__________________________________________________________________

Вариант __________                                    Выполнил студент ______________курса 

__________________________факультета

     ___________________________________

   ___________________________________

(фамилия имя, отчество) 

дата  представления контрольной работы

на  проверку_________________________

Полнота изложения материала, аргументированность, самостоятельность

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Соблюдение  правил оформления

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Дополнительные  вопросы, рекомендации, замечания

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

  оценка______________________________ 

дата  проверки_______________________

• Преподаватель______________________

ученая  степень, звание, должность

___________________________________

фамилия, имя, отчество

Подпись____________________________ 
 
 


Волгодонск 2009

• Содержание
• 1.  Пределы.  Задача №1…….…………………………………………………….3              
• 2.  Задача  №2.………………………………………………………………….….5                                                  
• 3. Задача №3………………………………………………………………………6
• 4. Задача  №4……………….………………………………………………….…..7
• 5. Задача №5…………………………………………………………………..…..8
• 6. Задача  №6…………………………………………………………………..…..9
• 7. Задача  №7…………………………………………………………………..….10
• 8. Задача  №8…………………………………………………………………..….11                                               
• Список  использованной литературы………………..…….…12
•  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  

Задача  №1. Вычислить пределы:

   

 1.1.  lim n⁷ + n⁵   

      _n→∞  n⁵ - 4n⁷   


Решение: Подставив вместо n его предел, убеждаемся, что имеется неопределенность вида  ∞ / ∞.  Делим числитель и знаменатель на n⁷:                                    

      n⁷ ₊ n⁵                 1

lim n⁷     n⁷    =    1  +   n²     =  1

    n⁵ ₊ 4n⁷        1   +  4           4

    n⁷     n⁷          n²          
 


Вывод: Для раскрытия неопределенности вида ∞ / ∞ числитель и знаменатель делят на n в максимальной степени, все члены, содержащие n в меньшей степени, будут стремиться к нулю.

Ответ: 0,4 


1.2.  lim      х² -4х     

        _х→4  х² +2х-24   


Решение:

Здесь числитель и знаменатель стремятся  к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для  “раскрытия неопределенности” преобразую данную функцию. Разделив числитель  и знаменатель на x-4, получим при x≠2 равенство: 


       х² -4х    =    х(х -4)    =     х

   х² +2х-24       (х-4)(х+6)      х+6     
 


Так как   lim    (х+6) ≠0, то, по теореме о пределе частного, найду

                 ^х→4    

 lim      х² -4х      =  lim      х      =  lim      х    =  4    = 0,4

 ^х→4  х² +2х-24         ^х→4     х+6                lim   х +6        10  


Ответ: 0,4 


1.3.  lim  (1-n)^1/2n

            ^n→∞                   


Решение:

  lim  (1-n)^1/2n   = exp (lim  ln(1-n)^1/2n =  exp  lim  ln(1-n) = /неопределенность/ =           

            ^{n→∞                              n→∞                                                     n→∞}          2n 


exp  lim (ln(1-n))^/  = exp  lim      -1       = exp (0) = 1

             ^n→∞          (2n)^{/                             n→∞}       (1-n)2

 Ответ: 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача  №2. В соревнованиях принимают участие a человек. Сколькими способами можно распределить 1, 2  и 3 место? (a=16). 


Решение:  Обозначу через  А ^к  число различных размещений  из n элементов

                                                    ⁿ

по k.

Тогда  А  ^k  = n(n-1) (n-2)….(n-k+1)

                ⁿ

A³ = 16*15*14=3360

   ¹⁶

Ответ: 1,2 и 3 место можно  распределить 3 360 способами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача  №3.  Найти производную функции у = 1+√t

                                                                                1-√t 


Решение:

    (U)^/  = U^/V-V^/U

     V            V² 


 (у) ^/ =  1+√t ^/ =  (1+√t)^/(1-√t)-(1-√t)^/(1+√t) =

             1-√t                        (1-√t)² 
 


= ( 1-√t)/2√t - (-( 1+√t)/2√t)  =         1        +  1   (1+√t) 

                  (1-√t)²                      2√t (1-√t)      2  √t (1-√t)² 
 


Ответ:    1        +  1   (1+√t) 

         2√t (1-√t)      2  √t (1-√t)² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача  №4. Найти производную  функции y =  sin x

                                                                                  1+cos x 


Решение.

y^/ =    sin (x)      ^/ =  (sin (x))^/ (1+cos(x)) – (1+cos(x))^/ sin(x)  =

        1+cos (x)                           (1+cos(x))² 


= cos (x) (1+cos(x)) + sin(x) sin(x) = cos (x) +cos²(x) + sin²(x) =

                      (1+cos(x))²                                                      (1+cos(x))² 


= cos (x) + 1   =  __1     

      (1+cos(x))²          1+cos(x) 
 


Ответ:   ___1     

                          1+cos(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача  №5.  Найти интегралы:

5.1.  ∫ ln(3x) dx

             x  


Решение.

∫ ln(3x) dx =∫ ln (3x) d (ln(3x)) = ln (3x)² + C

        x                                                  2 


Ответ:   ln (3x)² + C

                    2 
 


5.2. ∫ x sin 5x dx 


Решение.

∫ x sin 5x dx = -1 ∫ x d (cos (5x)) = - x cos (5x) + 1 ∫ cos (5x) dx =

                         5                                       5             5 


= - x cos (5x)  + 1 sin (5x) + C

            5                 25 


Ответ: - x cos (5x)  + 1 sin (5x) + C

                     5             25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача  №6. Вычислить интеграл   ₁∫³ (e^2x + 3) dx

                                                                             x³ 


Решение.

₁∫³ (e^2x + 3) dx = ₁∫³  e^2x dx + ₁∫³  3dx  = 1 e^{2x    3}  -3  1    ³ =  4 + 1 (e⁶ -e²)

              x³                                                     x3       2       ¹    2  x^{2   1}            3    2 


Ответ: 4 + 1 (e⁶ -e²)

                 3    2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача  №7. Имеются две урны, в первой а белых и b черных шаров. Во второй c белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. После этого из второй урны достают шар. Найти вероятность того, что он белый (а=10, b=5, с=5, d=15). 


Решение. Введу полную группу гипотез:

Н1 = (Переложен  белый шар),

Н2 = (Переложен  черный шар).

Так как  первой урне а белых и b черных  шаров, Р(Н1) =  а    ,  Р(Н2) =  b   . 

                                                                                                 а+b                   а+b       


Введу событие А = (Из второй урны выбран белый  шар). Найду вероятности по классическому  определению вероятности:

Р(А/Н1) =  с+1    ,  Р(А/Н2) =    с     . 

                  с+d+1                      с+d+1     

Найду вероятность события А по формуле  полной вероятности:

Р(А)=Р(А/Н1)Р(Н1)+Р(А/Н2)Р(Н2)  =    а      .    с+1    ₊   b   .      с        =

                                                                  а+b       с+d+1     a+b      с+d+1               

=     ac+a+bc     .

   (a+b) (c+d+1) 


При а=10, b=5, с=5, d=15 получаю

 

   ac+a+bc        =     10*5+10+5*5    =  0,269

 (a+b) (c+d+1)      (10+5) (5+15+1) 
 


Ответ: вероятность того, что шар белый равна 0,269 
 
 
 
 
 


Задача  №8.  В урне находятся а белых и b черных шаров. Опыт состоит в доставании шара и опускании его обратно в корзину. В корзину залазили c раз. Какова вероятность того, что было вытащено из корзины d белых шаров?

(а=10, b=5, с=5, d=4) 


Решение: Так как шары извлекаются с возвращением, при каждом извлечении вероятность появления белого шара одинакова и равна                  


Р =  а   =   10   =  0,66 

      а+b     10+5       


Число извлечений  n=5. Имею схему Бернулли, поэтому вероятность того, что в n извлечениях белый шар появится ровно k раз найду по формуле Бернулли:

P_n(k)= C^kp^k (1-p) ^n-k

             ⁿ 


P₅(4) =C⁴*0.66⁴*(1-0.66)^5-4 =0.32

                ⁵ 


Ответ:  вероятность того, что было вытащено из корзины 4 белых шара    равна 0,32. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


• СПИСОК  ИСПОЛЬзованной ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие.—СПб.,2002 (М., 1977)
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты).— М:Высшая школа, 1983
3. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты).— М: Высшая школа, 1983 (1994, 2005-2009)
4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие в 3 частях / Под общей редакцией А.П. Рябушко. - Мн.: Выш. шк., 1990-1991
5. Сборник задач по уравнениям с частными производными (под ред. Шамаева А.С.