Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Западно-Сибирский  Институт Финансов и Права

 

Экономико-правовой факультет

Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ   РАБОТА

 

ПО  ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

 

 

                                                                                                       Выполнил:

                                                                                                   студент (ка) группы № ________

                                                                                                   Ф,И,О, ___________________________  

                                                             ______________ ( подпись)

 

                                                                                                   Проверил: ________________________

                                                                                                   Ф.И.О   подпись

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижневартовск 2011

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1

 

Задача № 1.  Найти матрицу D=2С(3A-B), где .

_{Решение.}

Задача № 2. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение. Вычислим определитель разложением по второй строке

= – (12 –  18 + 156 + 6 – 72 – 78) + 3( - 6 – 27 –  39 + 9 + 18 + 39) + 5( – 24 – 18 + 6 + 36 + 12 –  6) = – 6 + 3(– 6) + + 5*6 = 6  

 

 

Задача №3. Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить методом Гаусса

Решение.

Найдем  ранг матрицы системы коэффициентов  и расширенной матрицы коэффициентов:

Минор третьего порядка не равен нулю, причем это  наивысший порядок минора, значит, ранг матрицы коэффициентов равен 3. В расширенной матрице коэффициентов  можем выделить этот же минор, и получим, что ранг расширенной матрицы  также равен 3. Итак, ранг матрицы  системы коэффициентов и расширенной  матрицы коэффициентов равны, следовательно, система совместна. Так как ранг равен числу неизвестных системы, то система имеет единственное решение. Найдем его методом Гаусса – приведем систему к треугольному виду при  помощи элементарных преобразований над  строками расширенной матрицы:

Из третьей  строки х₃ = 1

Из второй строки: х₂ – х₃ = 1, откуда х₂ = х₃ + 1 = 1 + 1 = 2

Из первой строки: х₁ - 2х₂ – 3х₃ = – 3, откуда х₁ =  2х₂ + 3х₃  – 3 = 4 + 3 – 3 = 4

Ответ. (4, 2, 1)

 

Задача №4. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами:

1) методом  Крамера; 

2) средствами  матричного исчисления.

 

Решение.

1. методом Крамера

Найдем определитель системы:

Определитель  системы не равен нулю, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители, полученные заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов определителя система столбцом свободных  членов:

_{По  формулам Крамера  находим:}

2. средствами матричного исчисления

 

Обозначим:

 

_{Тогда АХ = В — матричная  запись системы, Х = А^-1В — решение этого матричного уравнения. Найдем обратную матрицу А^-1}

Найдем алгебраические дополнения матрицы А

Ответ. (2, -2, 3)

 

Задача № 5. Даны координаты точек М₁, М₂, М₃, М₄ в пространстве. Требуется:

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂, М_3.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₄ ,параллельно плоскости М₁М₂М₃.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₄, перпендикулярно вектору

4. Вычислить объем пирамиды с вершинами в данных точках

М₁(–1,2,3),           М₂(1,2,0),            М₃(1,0,–2),          М₄(–3,3,2)

Решение.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки находим по формуле:

_{Подставляем координаты точек:}

2. В качестве нормального вектора искомой плоскости возьмем нормальный вектор плоскости М₁М₂М₃ — N = 3i -2j + 2k и воспользуемся общим уравнением плоскости, проходящей через данную точку (х₀, у₀, z₀) с данным нормальным вектором N = {A, B, C}: А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0

Искомое уравнение: 3(х + 3) – 2(y – 3) + 2(z – 2) = 0. Упростим: 3х – 2у + 2z + 11 = 0

3. Найдем вектор

Вектор  _{примем за нормальный вектор искомой плоскости, так как, по условию, этот вектор ей перпендикулярен. Воспользуемся уравнением} А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0

Искомая плоскость 2(х + 3) + 0(y – 3) – 3(z – 2) = 0. Упростим: 2х – 3z + 12 = 0

4. Объем пирамиды найдем по формуле:

Где

_{Смешанное произведение векторов.}

Задача № 6. Привести данное уравнение к простейшему виду, построить соответствующую ему линию в декартовой прямоугольной системе координат. Записать координаты центра симметрии и уравнения осей симметрии.

а) х²+4у²–6х+8у+9=0

Решение.

х² – 6х + 4у² + 8у + 9 = 0

(х² – 6х) + (4у² + 8у) + 9 = 0

(х² – 6х + 9 – 9) + 4(у² + 2у + 1 – 1) + 9 = 0

(х² – 6х + 9) – 9 + 4(у² + 2у + 1) – 4 + 9 = 0

(х –3)² + 4(у + 1)² = 4

Это каноническое уравнение эллипса  с центром в точке О(3, -1), большая  полуось а = 2, малая полуось b = 1. Уравнения осей симметрии y = 3, x = -1

 

 

 

b) 16х² + 9у² – 32х + 18у – 119 = 0

(16х² – 32х) + (9у² + 18у) – 119 = 0

16(х² – 2х) + 9(у² + 2у) – 119 = 0

16(х² – 2х + 1 – 1) + 9(у²+ 2у + 1 – 1) – 119 = 0

16(x – 1)² – 16 + 9(y + 1)² – 9 – 119 = 0

16(x – 1)² + 9(y + 1)² = 144

 

 

Это каноническое уравнение эллипса  с центром в точке О(1, -1), полуоси  —  а = 3, b = 4. Уравнения осей симметрии x = 1, y = -1

 

Задача № 7. Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие: сумма квадратов расстояний до точек А(1,1) и В(-3,3) равна 20.

Решение. Пусть множество точек М(х, у). Находим расстояние АМ и ВМ в квадрате:

По условию, их сумма равна 20, т.е.

Это каноническое уравнение окружности с центром  в точке О(-1; 2) и радиусом

 

Список использованной литературы

 

1. Ильин, В.А. Высшая математика [Текст]: уч. / Ильин В.А., Куркина А.В.. - 3-е изд.перераб. и доп. - М.: Проспект, 2011.- 608 с.: ил.- (Классический университетский  учебник).

2. Гусак, А.А. Высшая математика [Текст]: учеб. для студентов вузов.  В 2 т. Т.1 / Гусак А.А., Гусак А.А.. - 6-е изд., - М.: ТетраСистемс, 2007.- 544 с.: ил.

3. Малахов, А.Н. Высшая математика [Текст]: учеб.пособие / Малахов А.Н., Максюков Н.И., Никишкин В.А. - М.: МЭСИ, 2004.- 356 с.: ил.- (Международный консорциум ""Электронный университет"").

4. Высшая математика для экономистов  [Текст]: Практикум для студентов  вузов, обучающихся по экономическим  специальностям / Под ред. Кремера  Н.Ш.. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 479 с.: ил.- (Золотой  фонд российских учебников).

5. Лунгу, К.Н. Высшая математика. Руководство к решению задач.Часть  2 [Текст]: учеб. пособие / Лунгу К.Н., Макаров Е.В. - М.: Физматлит, 2007.- 384 с.: ил."