Контрольная работа по "Комбинаторика "

Контрольная работа

 

Часть 1

Комбинаторика

 

Задача  № 3

В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами  можно составить расписание занятий  на субботу, если в этот день недели должно быть пять различных уроков?

Решение

Распределения предметов  в день представляют собой в всевозможные размещения из 14 – ти элементов по 5; поэтому число всех способов распределения должно быть:

(способов).

Ответ: 240240 способов.

 

Задача  № 13

В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?

Решение

Т. к. здесь играет роль то, какие команды будут выбраны, и то, какие медали они получат, то в этом случае надо найти число размещений из 18 по 3.  Поэтому распределение можно произвести

способами.

Ответ: 4896 способов.

 

Задача  № 23

У Нины есть семь разных книг по математике, а у Славы  – девять разных книг по философии. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом по пять книг?

Решение

Порядок, в котором  располагаются книги несущественен, поэтому число различных исходов  равно числу сочетаний из 7 элементов  по 5:

(способ).

Для Славы: (способ).

Общее число способов есть произведение числа вариантов выбора пар:

(способов).

Ответ: 2646 способов.

 

Задача  № 33

Десять человек надо разбить на три группы, соответственно, по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими  способами можно это сделать?

Решение

Речь идет об отыскании  числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=2 элементов, k2=3 элементов и k3=5 элементов. По формуле получаем

(способов).

Ответ: 2520 способов.

 

Часть 2

Теория вероятностей

 

Задача  № 43

Игральная кость бросается  два раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

Решение

На выпавшей грани первой игральной  кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогично шесть исходов возможны при бросании второй кости. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов бросания второй. Таким образом, число возможных элементарных исходов испытания равно , т. е. . Благоприятствующими интересующему нас событию (появится одинаковое число очков) являются следующие шесть исходов:

 

Первая кость	Вторая кость
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6

 

то есть .

Искомая вероятность равна отношению  :   .

Ответ:   .

Задача  № 53

32 буквы русского алфавита  написаны на карточках разрезной  азбуки. Пять карточек вынимаются  наугад одна за другой и  укладываются на стол в порядке  появления. Найти вероятность того, что получится слово «конец».

Решение

Пусть события

- вынимаем букву «К»

- вынимаем букву «О»

- вынимаем букву «Н»

- вынимаем букву «Е»

- вынимаем букву «Ц».

События , , , , - зависимые, т. к. вынимаются одна за другой.

По теореме умножения  для зависимых событий:

Ответ:

 

Задача  № 63

Два стрелка, независимо один от другого, стреляют по одной  мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – 0,8, для  второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение

Пусть событие А – в мишени обнаружена одна пробоина.

Выдвинем гипотезы:

-  первый стрелок произвел выстрел, ;

 - второй стрелок произвел выстрел, .

Поскольку первый и второй стрелки равновероятно могут  произвести выстрел, то .

Условные вероятности:

 вероятность того, что мишень пробита первым стрелком;

 вероятность того, что мишень пробита вторым стрелком.

Вычислим полную вероятность  события А: .

По формуле Бейеса: .

Ответ:  0,667.

 

Задача  № 73

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение

Так как  достаточно велико (условие выполнено), то применяем локальную формулу Муавра – Лапласа.

Вначале определим  . Тогда по формуле .

- вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях.

Ответ: 0,0231.

Часть 3

Математическая статистика

 

Задача  № 83

Устройство состоит  из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить  ряд распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение

Случайная величина Х - число отказавших элементов в одном опыте может иметь следующие возможные значения: ни одного отказавшего элемента, один элемент, два отказавших элемента, - все три элемента отказали.

Имеем, по условию, вероятность  отказа элемента , тогда вероятность безотказной работы.

  Найдем вероятности наступления этих событий по формуле Бернулли: .

 

.

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

 

Ряд распределения имеет  вид:

 

	0	1	2	3
	0,729	0,243	0,027	0,001