Комплексные числа

ВВЕДЕНИЕ

       Решение многих задач физики  и техники приводит к квадратным  уравнениям с отрицательным   дискриминантом.  Эти  уравнения  не имеют  решения в области  действительных чисел. Но решение  многих таких задач имеет вполне  определенный физический смысл.  Значение величин, получающихся  в результате решения указанных  уравнений, назвали комплексными  числами. Комплексные числа широко  использовал отец русской авиации  Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при  разработке теории крыла, автором  которой он является. Комплексные  числа и функции от комплексного  переменного находят применение  во многих вопросах науки и  техники.

         Цель настоящего реферата знакомство  с историей появления комплексных  чисел, с действиями с комплексными  числами, решение уравнений с  комплексным переменным.   

ПОНЯТИЕ О КОМПЛЕКСНЫХ  ЧИСЛАХ

         Для решения алгебраических уравнений  недостаточно действительных чисел.  Поэтому естественно стремление  сделать эти уравнения разрешимыми,  что в свою очередь приводит  к расширению понятия числа.  Например, для  того чтобы любое  уравнение х+а = в имело корни,  положительных чисел недостаточно  и поэтому возникает потребность  ввести отрицательные числа и  нуль.

         Древнегреческие математики считали,  что а = с и в = а только  натуральные числа, но в практических  расчетах за два тысячелетия   до нашей эры в Древнем Египте  и Древнем Вавилоне уже применялись  дроби. Следующим важным этапом  в развитии понятия о числе  было введение отрицательных  чисел – это было сделано  китайскими математиками за 2  века до нашей эры. Отрицательные   числа применял в 3 веке нашей  эры древнегреческий математик  Диофант, знавший уже правила  действий над ними, а в 7 веке  нашей эры  эти числа подробно  изучили индийские ученые, которые  сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел  можно было единым образом  описывать изменение величин.  Уже в 8 веке нашей эры было  установлено, что квадратный корень  из положительного числа имеет  два значение - положительное и  отрицательное, а из отрицательных  чисел квадратные корни извлечь  нельзя: нет такого числа х,  чтобы  х² = -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х³+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х³-7х+6=0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.            

         Чтобы объяснить получившийся  парадокс, итальянский алгебраист  Дж.  Кардано в 1545 предложил  ввести числа новой природы.  Он показал, что система уравнений  х+у = 10, ху = 40 не имеющая решений  в   множестве    действительных    чисел,    имеет    решение     всегда х = 5 , у = 5   , нужно только условиться действовать над такими  выражениями по  правилам  обычной   алгебры   и   считать, что = -а. Кардано называл такие величины  «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения  какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название  «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа     i = (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее  употребление благодаря К. Гауссу (1831г).                                                           

        В течениe 17 века продолжалось  обсуждение арифметической природы  мнимостей, возможности дать им  геометрическое истолкование. Постепенно  развивалась техника операций  над комплексными числами. На  рубеже 17-18 веков была построена  общая  теория  корней   n-й степени сначала   из  отрицательных,  а впоследствии и из любых комплексных чисел.

         В конце 18 века французский  математик Ж. Лагранж смог сказать,  что математический анализ уже  не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел  научились выражать решения линейных  дифференциальных уравнений с  постоянным коэффициентом. Такие  уравнения встречаются, например, в теории колебаний   материальной   точки  в   сопротивляющейся  среде. 

        Я. Бернулли применил комплексные  числа для вычисления интегралов.    Хотя в течении 18 века с помощью  комплексных чисел были решены  многие вопросы, в том числе  и прикладные задачи, связанные  с картографией, гидродинамикой  и т. д., однако еще не было  строго логического обоснования  теории этих чисел. Поэтому  французский ученый П. Лаплас  считал, что результаты, получаемые  с помощью мнимых чисел, - только  наведение, приобретающие характер  настоящих истин лишь после  подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было  получено геометрическое    истолкование    комплексных    чисел.      Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

          Геометрические истолкования  комплексных  чисел позволили определить многие  понятия, связанные с функциями  комплексного переменного, расширило  область их применения. Стало  ясно, что комплексные числа полезны  во многих вопросах, где имеют  дело с величинами, которые изображаются  векторами на плоскости: при  изучении течения жидкости,  задач  теории упругости,   в теоретической  электротехнике.

          Большой вклад в развитие теории  функций комплексного переменного  внесли русские и советские  ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался  ее приложениями к теории упругости,  М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике,  Н. Н. Боголюбов  и  В.С.  Владимиров - к проблемам квантовой  теории поля.  

ДЕЙСТВИЯ  С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ  

          Рассмотрим решение квадратного  уравнения х² +1 = 0. Отсюда х²  = -1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом , i² = -1, откуда i = . Решение квадратного уравнения, например, х² – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х = 4 = 4  =  4   =  4   3 = 4 3i.

          Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а + bi, где a и b- действительные  числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.  

Сложение  комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i.  Числа a + bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi) + (а-bi) = 2а. Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю.     Комлексные  числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d.   Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a + bi = 0, если a = 0,b = 0.  Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a + bi = a - действительное  число. Если а = 0, b   0, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются   действительными   числами,   для   которых  справедливы указанные законы.  

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное  сложению:  разностью двух  комплексных  чисел   a + bi  и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит, (а+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.  

Произведение  комплексных чисел  z ₁= a + bi и z₂ = c + di называется комплексное число  z =  (ac-bd) + (ad + bc)i,  z₁z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.   Легко  проверить,   что  умножение  комплексных  чиcел   можно   выполнять  как  умножение  многочленов с заменой i² на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по  отношению к сложению.

Из определения  умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел  равно действительному числу:     (a + bi)(a - bi) = a² + b² 

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di) = = = + i.  

Степень числа i   является  периодической  функцией  показателя

с периодом 4. Действительно, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁴ⁿ  = (i⁴)ⁿ = 1ⁿ  = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i,      i⁴ⁿ⁺² = -1,  i⁴ⁿ⁺³ = -i.  

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ