Аналогично  происходит и перераспределение  налогового бремени в случае. Когда  налог формально взимается с  потребителей. Например, оплачивая  какую-либо покупку, покупатель платит по дополнительному чеку определенную сумму или процент от суммы  покупки государству. В этом случае введение налога приводит к сдвигу кривой спроса влево ( рис.6. Приложение 2). Сравнивая этот рисунок с рисунком, описывающим ситуацию взимания налога с производителей, можно заметить, что распределение налогового бремени между потребителями и производителями происходит также, как и в предыдущем случае, и опять обратно пропорционально их эластичностям. Таким образом, формальные и фактические плательщики налога не совпадают. Независимо от того, кто является формальным плательщиком налога, фактическим плательщиком оказывается экономический агент с меньшей эластичностью, особенно если эластичности спроса и предложения сильно различаются.

      Рассматривая  вопрос о влиянии величины налоговой  ставки на величину налоговой выручки, нетрудно заметить, что эти величины связаны между собой примерно так же, как связаны выручка от  продаж и цена товара. Рассуждая аналогично выводу связи выручки и эластичности, можно получить формулу:

                                 Е _t (T) = = 1-

      Из  этой формулы видно, что налоговая  выручка возрастает с увеличением  налоговой ставки только до тех пор, пока доля ставки налога в цене товара меньше суммы обратных эластичностей  спроса и предложения. Это дает возможность  устанавливать высокие ставки налогообложения            ( существенно превышающие цену товара) на товары, спрос на которые неэластичен ( или предложение которых неэластично). Примером этому служат акцизы на винно-водочные и табачные изделия.

      Таким образом, эластичность спроса важна  при принятии ценовых решений  производителями, бизнесменами, владельцами  стадионов, кинотеатров и других заведений, разработчиками государственной  политики и другими экономическими субъектами. 
 
 

      

                
 

2.1. Сущность метода наименьших квадратов.

 

     Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется  также для приближённого представления  заданной функции другими (более  простыми) функциями и часто оказывается  полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина  отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много  раз, и за окончательный результат  берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

До начала XIX в. учёные не имели опредёленных правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных менее числа уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Лежандру (1805—06) и Гауссу (1794—95) принадлежит первое применение к решению указанной системы уравнений теории вероятности, исходя из начал, аналогичных с началом арифметической середины, уже издавна и, так сказать, бессознательно применяемых к выводам результатов в простейшем случае многократных измерений. Как и в случае арифметической середины, вновь изобретённый способ не даёт, конечно, истинных значений искомых, но даёт зато вероятнейшие значения. Этот способ распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Лапласа, Энке, Бесселя, Ганзена и др. и получил название метода наименьших квадратов, потому что после подстановки в начальные уравнения неизвестных величин, выведенных этим способом, в правых частях уравнений получаются если и не нули, то небольшие величины, сумма квадратов которых оказывается меньшей, чем сумма квадратов подобных же остатков, после подстановки каких бы то ни было других значений неизвестных. Помимо этого, решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, то есть даёт величины, по которым судят о степени точности выводов.

Пусть дано решить систему уравнений

a₁x + b₁y + c₁z + … + n₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂z + … + n₂ = 0

a₃x + b₃y + c₃z + … + n₃ = 0

…

число которых более числа неизвестных  x, у, z… Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные, уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной х. и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной х, и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Если означить для краткости: 

[aa] = a₁a₁ + a₂a₂ +…

[ab] = a₁b₁ + a₂b₂ +…

[ac] = a₁c₁ + a₂c₂ +…

…

[ba] = b₁a₁ + b₂a₂ +…

[bb] = b₁b₁ + b₂b₂ +…

[bc] = b₁c₁ + b₂c₂ +…

…

то нормальные уравнения представятся в следующем  простом виде:

[aa]x + [ab]y + [ac]z + … + [an] = 0

[ba]x + [bb]y + [bc]z + … + [bn] = 0

[ca]x + [cb]y + [cc]z + … + [cn] = 0 …

     Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой неизвестной  во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в первом, коэффициент у первой неизвестной  в третьем уравнении равен  коэффициенту у третьей неизвестной  в первом и т. д.

Пример  :

5x - 8y - 16 = 0

8x - y - 32 = 0

16x + 8y - 55 = 0

9x + 7y - 32 = 0

9x + 20y - 29 = 0

Составив  значения [aa], [ab].., получаем следующие нормальные уравнения:

507x + 323у — 1765 = 0

323x + 578у — 1084 = 0,

откуда  х = +3,55; у = —0,109. Уравнения представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела: предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое уравнение к линейному. 
 
 
 
 

2.2. Применение метода наименьших квадратов.

 

  Создание  новых алгоритмов обработки высокоточных наблюдений в настоящее время  является одной из основных проблем, возникающих перед исследователем, независимо от того, в какой области  науки он работает. Развитие новых  технических средств, применение новых  наблюдательных методик, компьютеризация  – все это способствует повышению  точности измерений. Но для того, чтобы реализовать эту точность, методы обработки также должны постоянно совершенствоваться, “подстраиваясь” под решение той или иной проблемы.

  Метод наименьших квадратов (МНК) был развит в начале XIX века в трудах Ж. Лежандра (1806 г.) и К.Ф. Гаусса (1809 г.) и в течение многих лет применялся практически в первозданном виде. Начиная примерно с 40-х годов XX века, появляются многочисленные модификации этого метода. При этом появление новых технических средств и наблюдательных методик заставило математиков разрабатывать довольно сложные алгоритмы обработки информации. Так, например, создание ракетной техники в годы Второй мировой войны повлекло за собой разработку алгоритмов последовательной обработки данных – фильтра Калмана-Бьюси и его модификаций.  Поэтому можно сказать, что развитие технических средств способствовало (и способствует) развитию математического аппарата, предназначенного для обработки данных, с помощью этих средств полученных.

  Радиоинтерферометрия  со сверхдлинными базами (РСДБ) как  новая наблюдательная техника также требует применения нестандартных алгоритмов. На это есть несколько причин, одна из которых состоит в том, что наблюдения проводятся одновременно на нескольких инструментах (иногда число радиотелескопов, задействованных, в эксперименте превышает 10), в то время как классические астрометрические наблюдения, как правило, проводятся на одном инструменте. С точки зрения обработки данных это означает, что РСДБ наблюдения в каждый момент времени дают несколько разностей О–С, т.е. вектор, в то время как классические виды наблюдений дают в каждый момент времени одну разность О–С, т.е. скаляр. Поэтому при обработке РСДБ данных возникают такие новые понятия, как, например, корреляции между наблюдениями, полученными одновременно. Кроме того, практически с самого начала оказалось, что разности хода водородных стандартов испытывают большие флуктуации (опять сказывается специфика РСДБ наблюдений). Это заставило разбивать 24-часовой интервал наблюдений на сегменты продолжительностью 1-2 часа и оценивать параметры, характеризующие подобные флуктуации, на каждом сегменте отдельно. Этот метод получил название сегментированного или последовательного МНК. Подобную процедуру пришлось использовать и для оценивания флуктуаций тропосферной задержки в зените. В результате алгоритм оценивания в целом оказался достаточно громоздким. Кроме того, выяснилось, что нельзя делать сегмент слишком коротким (менее 1 часа) из-за того, что точность оценок начинает ухудшаться. Снижение точности связано с тем, что при уменьшении интервала разбиения внутрь каждого сегмента попадает недостаточное количество наблюдений. А поскольку корреляции между параметрами в соседних сегментах не учитываются, то разброс оценок от сегмента к сегменту оказывается неправдоподобно большим. Поэтому в качестве альтернативы последовательному МНК начал применяться фильтр Калмана, учитывающий возможные изменения стохастических параметров с помощью выбранной динамической модели. Однако оказалось, что фильтр Калмана имеет свои недостатки, связанные с накоплением ошибок и появлением плохо обусловленных ковариационных матриц.

  Все это привело к тому, что в  настоящее время нет общепринятого  алгоритма уравнивания данных РСДБ наблюдений. Различные исследовательские группы, создавая собственные пакеты программ, как правило, пишут заново программы оценивания параметров, выбирая алгоритм, который кажется наиболее подходящим, и внося в него при этом свои коррекции. В пакете GLORIA, например, вместо МНК был использован метод наименьших модулей, менее чувствительный к грубым ошибкам наблюдений. 

  С середины 80-х годов возрос интерес  исследователей к изучению внутрисуточных характеристик различных физических процессов. В геодинамике это, в первую очередь, относится к параметрам вращения Земли (ПВЗ), поскольку с их помощью можно уточнять модель строения Земли, характер взаимодействия ее внутренних слоев (мантии, ядра), изучать различные процессы, происходящие в атмосфере и т.д. Особое внимание уделяется изучению суточных и полусуточных вариаций ПВЗ, вызванных влиянием приливов, хотя это не единственная причина появления высокочастотных колебаний. К сожалению, при обработке суточной серии РСДБ наблюдений обычно получают только одну оценку ПВЗ за 24 часа. Поэтому, несмотря на стремительное улучшение точности поступающей информации, высокочастотные характеристики, как правило, остаются неисследованными. В последнее время были сделаны попытки исправить положение, например, с помощью программы CALC/SOLVE были получены часовые оценки изменений координат полюса и UT1–UTC. Однако в целом проблема оценивания ПВЗ на внутрисуточном интервале времени остается нерешенной. Следует также отметить, что и другие параметры, которые определяются из РСДБ наблюдений, также могут претерпевать значительные флуктуации в течение 24-часового эксперимента. Например, совсем недавно появились доказательства влияния вариаций атмосферного давления на вертикальные деформации земной коры. Очевидно, что быстрые изменения приповерхностного давления (при прохождении атмосферных фронтов) могут вызвать вертикальные смещения земной коры. Эти смещения (амплитуда до 1 см) достаточно заметны на современном уровне точности РСДБ наблюдений, и пренебрежение подобными эффектами может сказаться на точности оценок, которые получаются при уравнивании.

  Метод среднеквадратической коллокации (МСКК) был разработан в 60-е годы, в основном, для представления гравитационного  поля Земли и уравнивания глобальных геодезических сетей. Однако оказалось, что его можно применять и как метод оценивания в тех случаях, когда некоторые определяемые параметры изменяются в течение интервала наблюдений, поскольку МСКК позволяет использовать более гибкую параметрическую модель данных наблюдений, чем МНК. ²Среднеквадратическая коллокация есть обобщенный метод оценивания, который сочетает уравнивание, фильтрацию и прогноз. Кроме параметров рассматриваются два вида случайных переменных: ошибки измерений или шум, а также сигнал; эти случайные переменные связаны друг с другом через ковариации² – так определяется  предложенный метод. Идея применения МСКК для обработки РСДБ наблюдений оказалась очень перспективной, потому что, как уже было сказано выше, флуктуации шкал водородных стандартов и тропосферной задержки в зените не позволяют применять классическую схему МНК для решения данной задачи. Адаптация МСКК для обработки РСДБ наблюдений позволяет, несмотря на увеличение времени, получить несмещенные оценки постоянных параметров, исключая влияние стохастических. Кроме того, появилась принципиальная возможность проанализировать поведение на 24-часовом интервале времени тех параметров, которые традиционно считались постоянными, например, ПВЗ или координаты станций.