Экономико-математический анализ предприятия

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

В современной экономике математика выступает в качестве необходимого инструмента, с помощью которого предприниматель может выбрать наилучший вариант действий из многих возможных. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Постановка задачи

Кондитерская фабрика «Конти - Рус» выпускает два вида продукции. При этом используется три вида ресурсов. Известны нормы расхода ресурсов на единицу продукции, фонды ресурсов и прибыль от реализации единицы каждой продукции.  Данные представлены в виде таблицы (таб.1.1). Нужно определить оптимальный план выпуска продукции. 

 

    Нужно определить, сколько выпустить печенья и вафель, чтобы получить максимально возможную прибыль. Следовательно, критерием будет прибыль.

х₁  -  количество выпускаемого печенья,

х₂  -  количество выпускаемых вафель.

    Математическая модель будет иметь вид:

                L = 4x₁ + 3x₂  ®  max

                        7x₁ + 2x₂ ≤ 91

                        3x₁ + 5x₂ ≤ 68

                        1x₁ + 6x₂ ≤ 66

                           x_1,2 ≥ 0

    В условиях знак “≤”, так как использовать ресурса больше, чем есть в запасе, мы не можем. Переменные не могут быть отрицательными, так как количество выпускаемой продукции должно быть больше нуля или равно нулю (если эта продукция не выпускается). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        Глава  2.   Нахождение  оптимального  плана  выпуска  продукции

1. Графическое  решение  задачи  линейного  программирования  (геометрическая  интерпретация  процесса  решения  задачи  симплексным  методом).

Рассмотрим решение задачи графическим методом.

Модель задачи имеет вид:              

                 L = 4x₁ + 3x₂  ®  max

                        7x₁ + 2x₂ ≤ 91

                        3x₁ + 5x₂ ≤ 68

                        1x₁ + 6x₂ ≤ 66

                           x_1,2 ≥ 0

Строим систему координат х₁0х₂. В этой системе будем строить допустимое множество задачи.

    Ограничения x_1,2 ≥ 0 образуют угол х₁0х₂, за приделы которого допустимое множество выходить не может. 

Рис.2.1

      Х₂

  
 

                                                                                               С               

                                                                                                          (3)

                                                                                       (2)

                                                                                           L^*

                                                          

                                                                                                   х₁

                                                                                               (1)

                     L                         

                                                                                

             

Определим полуплоскости каждого условия.

     Берем первое условие:

                                               7x₁ +2 x₂ ≤ 91.

  Заменяем на равенство:   

  7 x₁ + 2x₂ = 91.

    Чтобы построить эту прямую, подбором выбираем две точки:

                                х₁ = 13                       х₁ = 11

                                х₂ = 0                         х₂ = 7

    Эта прямая делит все множество на два подмножества. Чтобы определить, с какой стороны от прямой находится допустимое множество, воспользуемся контрольной точкой (проще всего взять точку начала координат). Если при подстановке координат этой точки в условие задачи, последнее выполняется как истинное, то допустимое множество со стороны этой точки, а, если как ложное, то с другой стороны от прямой. При подстановке координат точки (0,0) в условие, последнее выполняется как истинное, следовательно, допустимое множество находится со стороны этой точки от прямой.

    Аналогично строим две другие прямые:

         3x₁ + 5x₂ ≤ 68                                                        x₁ + 6x₂ ≤ 66

         3x₁ + 5x₂ = 68                                                        x₁ + 6x₂ = 66

х₁ = 6                     х₁ = 11                                  х₁ = 0                    х₁ = 6

х₂ = 10                   х₂ = 7                                     х₂ = 11                  х₂ = 10

    Подставляя контрольную точку в каждое из этих условий, видно, что допустимое множество лежит со стороны точки (0,0) от прямых.

      Выделим допустимое множество как пересечение всех этих подмножеств. Допустимым множеством будет выпуклый многогранник. Любая точка этого многогранника удовлетворяет всем условиям задачи и может быть ее решением (рис.2.1).Но нам нужно найти оптимальное решение.Для этого нужно построить линию критерия.        

   Чтобы построить прямую критерия, сначала строят вектор С, начало которого лежит в точке (0;0), а конец в точке с координатами, соответствующими коэффициентам в критерии, то есть (4;3).

    Перпендикулярно этому вектору в точке (0;0) проводим прямую, которая и будет прямой критерия (на графике линия L).

    В сторону вектора С критерий всегда увеличивается.

    Так как критерий в задаче стремиться к максимуму, передвигаем его прямую в сторону увеличения, то есть по вектору С до самой последней точки допустимого множества (на графике прямая  L^*).

    Координаты точки, через которую проходит прямая L^* и будут оптимальными значениями х₁^* и х₂^*:

                                    х₁^* = 11       х₂^* = 7

    Чтобы определить оптимальное значение критерия, подставим эти значения в формулу критерия:

                                  L^* = 4 · 11+3 · 7= 65 

    Определим смысл этих значений для данной задачи об использовании ресурсов: для получения максимальной прибыли в размере 65 денежных единиц необходимо выпустить 11 единиц печенья и 7 единиц вафель.

                                                                              

  2.2.   Решение  задачи  линейного  программирования  симплексным   методом.

Симплекс-метод реализует такой переход от одного базисного решения к другому, в результате которого новое решение приносит большее значение целевой функции (при максимизации).

    Процесс решения продолжается до получения оптимального плана, либо до установления факта отсутствия решения задачи (неразрешимости задачи). 

   Решим симплекс-методом задачу об использовании ресурсов:

                 L = 4x₁ + 3x₂  ®  max

                        7x₁ + 2x₂ ≤ 91

                        3x₁ + 5x₂ ≤ 68

                        1x₁ + 6x₂ ≤ 66

                           x_1,2 ≥ 0

             

    Приведем задачу к каноническому виду:

               L = 4x₁ + 3x₂ +0x₃ + 0x₄ + 0x₅ ®  max

                                  7 x₁ + 2x₂ + x₃ = 91

                                   3x₁ + 5x₂+ x₄= 68

                                  1x₁ + 6x₂+ x₅ = 66

                                       x_i ≥ 0,   I = 1, 5

    Переменные x₃, x₄, x₅ - базисные.

                                                                                             Таблица 2.1.