Экономический смысл производной

      Перекрестный  коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены  товара j (j = 1,2,…n):  .

      Количественную  сторону взаимодействия дохода и  спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится  спрос на i-тый товар Q_i если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%:  .

   Можно привести и другие примеры использования  производной при фокусировке  различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.

Применение  производной в  экономической теории.

   Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

   Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию  теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x₀) = 0.

Один из базовых  законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

   То  есть уровень выпуска Q_o является оптимальным для производителя, если MC(Q_o)=MR(Q_o),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

   Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

   Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Q_o, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Q_o) = C’(Q_o), откуда следует, что MR(Q_o) = MC(Q_o).

Другое  важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

   Получим это условие как следствие  сформулированной выше теоремы.  Средние  издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

   Понятие выпуклости функции также находит  свою интерпретацию в экономической  теории.

   Один  из наиболее знаменитых экономических  законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

   Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

   Другим  базисным понятием экономической теории является функция полезности U= U(x), где х  - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

Заключение

   Экономический смысл производной: производная  выступает как интенсивность  изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

   Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

   Наиболее  актуально использование производной  в предельном анализе, то есть при  исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

   Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем

   Знание  производной также позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии. 
 

Список  литературы

1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева  Т.И.Курс высшей математики для экономических вузов.- М.: Высшая школа, 1982.-Ч.1.
2. Колесников А.Н.Краткий курс математики для экономистов.-М.:Инфра-М,1997.
3. Лопатников Л.И. Краткий экономико-математический словарь.-М.:Наука,1987.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.- М.: Финансы и статистика,1998,Ч.1
5. Высшая математика для экономистов. (Под редакцией профессора Н.Ш.Кремера) М.-2001.