Установим еще предел для Г (а) при приближении  а к 0 или к  . Из формул (2.7) ясно, что Г (а) = при а . С другой стороны, ввиду (2.8) Г (а) > n!, лишь только а > n + 1, то есть Г(а) и при а .

      Построим график гамма-функции при a>0  

      Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

      Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при   функция .

        Определив таким образом на , мы можем по  той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках

      Отметим еще раз, что интеграл

      

определяет  Г-функцию только при положительных  значениях  , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

       Учитывая эти результаты, можно построить график гамма-функции для всех значений а. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.2.4 Связь между функциями  бета- и гамма-функциями

 

     Для того, чтобы установить связь между  функциями В и Г, мы сделаем подстановку x = ty (t>0) в формуле (2.1) и получим: 

     Г (а) = = =

     = = = .

     Умножим обе части этого равенства  на , получим:

                                     .                         (2.9)

     Заменяя здесь а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:

      = .

     Умножим теперь обе части этого равенства  на t^a-1 и проинтегрируем по t от 0 до :

     Г (a+b) = .

В интеграле слева мы узнаем функцию В (а, b),справа же переставим интегралы. В результате получим :

     Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).

     Таким образом, получаем:

     Г (а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда, наконец, 

                                      В (а, b) = .                       (2.10)

     Приведенный изящный вывод этого соотношения  Эйлера принадлежит Дирихле. Но для  его обоснования надо еще оправдать  перестановку интегралов. Ограничимся  поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции t^a-1 y^a+b-1 e^-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.

     А именно: эта функция непрерывна и  притом положительна для , а интегралы

      = Г (а + b) .

      = Г (а) y^b-1 e^-y

в свою очередь представляют собой непрерывные  функции: первый – от t для t 0, второй – от у для у 0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) – для случая а > 1, b > 1.

     Если  же известно лишь, что а > 0 и b > 0, то – по доказанному – имеем 

                                В (а+1, b+1) = . 

     А отсюда, используя формулы (1.2), (1.3) приведения для функции В и (2.4) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.9) уже без ненужных ограничений.

     2.2.5 Формула дополнения

     Если  в формуле (2.10) положить b = 1-а (считая 0 < а < 1), то, используя формулы (1.6) и (2.7), получим соотношение: 

                        ₌ Г(а) Г (1-а)

     

                                         

     Эта формула называется формулой дополнения. При  находим (так как Г(а)>0)

                             Г ( ). Г (1– ) =                       _(2.11)

     2.2.6 Формула Эйлера

     В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения (где n – любое натуральное число)

     Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ).

     Перепишем это произведение в обратном порядке

     Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ),

     перемножим  оба выражения:

                                  Е² =

и к  каждой паре множителей применим формулу  дополнения. Мы получим: 

                         Е² = = .

Теперь  для вычисления произведения синусов  рассмотрим тождество: 

                               =

     и устремим в нем  , получим:

                              n =

     или, приравнивая модули:

     n = = =

     = = =

     = = = 2 sin = 2 ^n-1 ,

     получили

                               = .

     Подставляя  это выражение для Е ², окончательно получаем:

                              Е = = .                          (2.12)

                                                       Г² ( ) = ,

                                             Г ( ) = . (2.11) 

     Если  в интеграле сделать подстановку z= x², то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

      = = = 2 = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Примеры  вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов

 

      Для вычисления необходимы формулы:

      

      Г( )

      Вычислить интегралы:

                                                                                                                       

      Заключение

 

             Гамма и бета-функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

      Для гамма-функции составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями.

      Определенные  интегралы различных типов могут  быть выражены через гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов.

      Благодаря этому эйлеровы интегралы широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

 

      

Список  литературы

 

1. Аксенов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999
2. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. – М.: Просвещение, 1985. – 159 с.
3. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1966. – 735 с.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для студентов вузов. – М., Наука. 1965. – 360 с.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения, Ряды. Функции комплексного переменного. – Ростов-н/Д. Феникс. 1997. – 511 с.
6. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С, Мордкович А.Г., Математический анализ: интегральное исчисление. – М.: Наука, 1979. – 435 с.
7. Виленкин Н.Я. Специальные функции. – М.: Наука, 1976. – 412 с.
8. Орлов Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.: Наука, 1973 – 215 с.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: т. 1, – М.: Интеграл-пресс, 2002. – 415 с.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 807 с.