История систем счисления

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

БРЯНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО

 

... факультет

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра ...

 

 

 

 

 

ТЕМА

 

• Выполнил

• а

а

а

а

а

а

 

 

 

 

 

 

 

Брянск   20012

 

 

Содержание 

История систем счисления

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые  используются в настоящее время, делятся на две группы:

• позиционные,
• непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления. Они являются результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Цель создания системы  счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Существует много различных  систем счисления. Некоторые  из них распространены, другие распространения не получили.  Наиболее простая и понятная для нас  система  счисления  -  десятичная (основание 10). Понятна она потому, что мы используем ее в повседневной жизни.

Единичная система

В древние времена, когда  люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому предмету в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.). Ученые назвали этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы  записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек; при записи большого числа легко ошибиться – нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Можно предположить, что  для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Поскольку люди, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук (единиц). И таким образом возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнегреческая нумерация

В древнейшее время в  Греции была распространена т.н. аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками , , , . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались , , , . Число 10 обозначалось (начальной буквой слова «дека»  – десять). Числа 100, 1000 и 10000 обозначались , , . Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.

Запись чисел в аттической системе счисления:

	,
	,
	,
	.

В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена  так называемой ионийской системой. В ней числа 1 – 9 обозначались первыми девятью буквами алфавита; числа 10, 20, 30, … , 90 – следующими девятью буквами; числа 100, 200, … , 900 – последними девятью буквами.

 

Обозначение чисел в  ионийской системе нумерации

Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Назва-ние	Значе-ние
	Альфа	1		Йота	10		Ро	100
	Бета	2		Каппа	20		Сигма	200
	Гамма	3		Лямбда	30		Тау	300
	Дельта	4		Мю	40		Ипсилон	400
	Эпсилон	5		Ню	50		Фи	500
	Фауб	6		Кси	60		Хи	600
	Дзета	7		Омикрон	70		Пси	700
	Эта	8		Пи	80		Омега	800
	Тэта	9		Коппа	90		Сампи	900

 

Запись чисел в ионийской  системе счисления

	,
	,
	,
	,
	.

 

Южные и восточные  славянские народы для записи чисел  пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок:   («титло»).

 

 

Обозначение чисел в  древнеславянской системе нумерации

Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Назва-ние	Значе-ние
	Аз	1		И	10		Рцы	100
	Веди	2		Како	20		Слово	200
	Глаголь	3		Люди	30		Твердо	300
	Добро	4		Мыслите	40		Ук	400
	Есть	5		Наш	50		Ферт	500
	Зело	6		Кси	60		Хер	600
	Земля	7		Он	70		Пси	700
	Иже	8		Покой	80		Омега	800
	Фита	9		Червь	90		Цы	900

 

Славянская  нумерация

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация», которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. При записи чисел, больших 10, цифры писались слева направо в порядке убывания десятичных разрядов (однако иногда для чисел от 11 до 19 единицы записывались ранее десяти). Для обозначения тысяч перед числом их  (слева внизу) ставился особый знак .

Запись чисел в древнеславянской системе счисления:

	,
	,
	,
	.

 

Римская нумерация

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.

В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: , , , , , , .

В римской нумерации  явственно сказываются следы  пятиричной системы счисления. В  языке же римлян (латинском) никаких  следов пятиричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами  у другого народа (предположительно у этрусков).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз.

Запись чисел римскими цифрами:

,	,
,	.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами  в этой записи очень громоздко  и трудно. Тем не менее, римская  нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

Вавилонская поместная  нумерация

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация - тоже поместная, однако в вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число 10, играло число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятеричной. Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка . Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз. При отсутствии промежуточного разряда применялся знак .

Запись вавилонской  клинописью чисел до 60

	,
	,
	,
	.

Запись вавилонской  клинописью чисел, больших 60

Обозначение	Значение	Способ образования
	302
	1295
	3725
	7203

 

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила распространения  за пределами ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Среднего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

Позиционные и  непозиционные системы счисления

Разнообразные системы  счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные  и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры  в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления  является римская система, в которой  в качестве цифр используются латинские  буквы.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.

В настоящее время  позиционные системы счисления  более широко распространены, чем  непозиционные. Это объясняется  тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем - это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционной  и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.