История развития числа ПИ

          Реферат 

    по  истории развитии математики 
 

    “История  развития числа ПИ” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка

    Гр 8213

    Зубова  Мария

    Проверил

    Гринес  В.С. 
 

    История числа π

    Мало  известная строфа Библии гласит:

    И сделал литое [из меди] море, - от края его  до края его десять локтей, - совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом. (3 Цар. 7: 23)

    Аналогичный стих можно найти во второй книге  Паралипоменон 4: 2. Он относится к  описанию деталей великого дома Соломона, построенного около 950 года до нашей эры, и, что здесь самое интересное, в нем дается . Конечно, значение не очень точное, не очень точное даже для того времени – в Египте и Месопотамии значения и  были выведены много ранее. Впрочем, в защиту строителей дома Соломона следует отметить, что описанная деталь, по-видимому, имеет достаточно большую форму для литья, где высокая степень геометрической точности не только невозможна, но и в ней нет необходимости. Существуют некоторые интерпретации, приводящие и к лучшему результату.

    Сам факт того, что отношение длины  окружности к ее диаметру постоянно, известен настолько давно, что проследить его происхождение немыслимо. Самое первое значение числа π, включая «Библейское», – это 3; практически наверняка, оно было получено путем прямых измерений. В египетском папирусе Райнда, датированном около 1650 годом до нашей эры, вполне ясно использование в качестве π числа .

    Первое  теоретическое вычисление, по-видимому, выполнено Архимедом из Сиракузы (287-212 до н.э.). Он получил приближение

     .

    Прежде  чем привести его доказательство, отмечу, что использование неравенств уже свидетельствует о весьма изощренном опыте. Архимед знал, в отличие от многих других людей того времени, что  не является точным значением числа π, и даже не пытался найти это точное значение. Если определить его наилучшую оценку как среднее арифметическое границ найденного им интервала, то получается 3,1418; погрешность составляет всего около 0,0002.

 

    Теперь  сами рассуждения  Архимеда.

    Рассмотрим  круг радиуса 1, в который вписан правильный многоугольник с  сторонами и полупериметром , и около которого описан правильный многоугольник с  сторонами и полупериметром .

     Диаграмма для  случая n=2 дана справа.

    Смысл этой процедуры в том, чтобы определить возрастающую последовательность

    

    и убывающую последовательность

    

    так, чтобы они обе имели своим пределом π. Используя тригонометрические понятия, можно вычислить значения полупериметров

    a_n = K tan(π/K), b_n = K sin(π/K),

    где K= . Таким же образом, имеем

    a_n+1 = 2K tan(π/2K), b_n+1 = 2K sin(π/2K),

    и не будет сложным упражнением  по тригонометрии показать, что

    (1/a_n + 1/b_n) = 2/a_n+1   . . . (1)

    a_n+1b_n = (b_n+1)²       . . . (2)

    Архимед, начав с  a₁ = 3 tan(π/3) = 3√3  и  b₁ = 3 sin(π/3) = 3√3/2, вычислил a₂, используя (1), затем b₂ используя (2), a₃ используя (1), b₃ используя (2) и так далее, пока не получил a₆ и b₆ . Он сделал вывод, что

    b₆ < π < a₆ .

    Важно осознать, что использование здесь  тригонометрии «не исторично»: Архимед не обладал знаниями из алгебры и тригонометрии, и описывал (1) и (2) чисто геометрически. Более того, он даже не имел представления о десятичных числах, поэтому вычисление a₆ и b₆ с помощью (1) и (2) являлось далеко не тривиальной задачей. Так, полученный результат был поистине изумительным достижением как силы воображения, так и рассуждения; и удивительно не то, что он остановился на многоугольнике с 96 сторонами, а то, что он зашел так далеко.

    Конечно, вообще говоря, нет причин, чтобы  не продолжить вычислений. Многие пошли дальше:

• Птолемей                (около 150 н.э.)    3.1416
• Зу Чонгжи              (430-501 н.э.)                  ³⁵⁵/₁₁₃
• Аль-Хваризми        (около 800)           3.1416
• Аль-Каши               (около 1430)                   14 знаков
• Виет                        (1540-1603)           9 знаков
• Румен                     (1561-1615)           17 знаков
• Ван Цейлен             (около 1600)                   35 знаков

    За  исключением Зу Чонгжи, о котором  ничего более неизвестно, и  который, очень вероятно, не знал о трудах Архимеда, не было никакого теоретического прогресса при увеличении точности, только более трудоемкие вычисления. Обращу внимание, как лидерство в этой и других научных областях переходит от Европы к Востоку в период от 400 до 1400 годов.

    Аль-Хваризми жил в Багдаде и, кстати, благодаря  ему появилось слово «алгоритм», и в то же время слова al jabr в названии одной из его книг породили слово «алгебра». Аль-Каши жил еще восточнее, в Самарканде, а Зу Чонгжи, едва ли следует говорить, в Китае.

    Европейское Возрождение принесло должным образом  целый новый математический мир. Среди первых последствий этого  пробуждения было появление математической формулы для π. Одним из первых представлений было Джона Валлиса (1616-1703)

    

    и одним из наиболее известных является

    π/₄ = 1 - ¹/₃ + ¹/₅ - ¹/₇ + ....

    Последнюю формулу иногда приписывают Вильгельму Лейбницу (1646-1716), но, по-видимому, она была ранее открыта Джеймсом Грегори (1638- 1675).

    Потрясающе  и изумительно, что выражение справа по своему характеру арифметическое, в то время как число π восходит в первую очередь из геометрии. Подобные представления демонстрируют удивительный результат, что бесконечный процесс может быть завершен, и они указывают способ прекрасного обогащения современной математики.

    С точки зрения вычисления π ни одна из формул, тем не менее, не годится. В ряде Грегори, например, чтобы получить четвертую значащую цифру, необходимо, чтобы ошибка была менее чем 0,00005 = ¹/₂₀₀₀₀, и таким образом, потребуется около 10 000 членов этого ряда. Однако Грегори показал более общий результат:

    tan^-1 x = x - x³/3 + x⁵/5 - ... (-1 x 1)   . . . (3) ,

    из  которого получается предыдущий ряд подстановкой x=1. Также используя факт

    tan^-1(¹/_√3) = π/₆  

    получаем

    π/₆ = (¹/_√3)(1 - 1/(3.3) + 1/(5.3.3) - 1/(7.3.3.3) + ... ,

    и здесь сходимость более быстрая. Десятый член есть 1/(19 3⁹√3), что меньше 0,00005, и таким образом имеем точный четвертый знак уже после девятого члена.

    Еще лучшая идея взять формулу

    π/₄ = tan^-1(¹/₂) + tan^-1(¹/₃)   . . . (4)

    и вычислить два ряда, полученные подстановкой сначала ¹/₂ и затем ¹/₃ в (3).

    В самом деле, ясно, что мы получим очень быструю сходимость, если найдем формулу вида

    π/₄ = tan^-1(¹/_a) + tan^-1(¹/_b) ,

    где a и b большие. В 1706 году Джон Мэчин нашел такую формулу:

    π/₄ = 4 tan^-1(¹/₅) - tan^-1(¹/₂₃₉)   . . . (5)

    В действительности, ее не очень сложно доказать; если знать доказательство (4), то не будет больших сложностей с проверкой (5), не считая громоздкости арифметических вычислений. Но придумать ее, не используя других результатов, конечно, совсем другое дело.

    Подобные  формулы полезны только для более  точного вычисления значения π, и продолжение в этом направлении лишено смысла. Надо сказать, что некоторые люди были довольно неблагоразумны и потратили большое количество времени и усилий на это скучное и бесполезное занятие. Один из них, англичанин по имени Шенкс, использовал формулу Мэчина для вычисления π до 707 знака, и опубликовал результат многолетнего труда в 1873 году. Шенкс достиг бессмертия благодаря очень любопытным причинам, которые мы вскоре  скажем.

    А сейчас вкратце изложу, как происходило улучшение точности расчетов:

• 1699:  Шарп использовал результат Грегори и получил 71 точный знак
• 1701:  Мэчин придумал улучшение и вычислил 100 знаков после запятой;    остальные воспользовались его методом:
• 1719:  де Лани нашел 112 правильных цифр
• 1789:  Вега получил 126 разрядов и в 1794 году – 136
• 1841:  Ратерфорд вычислил 152 цифры и в 1853 получил 440 знаков
• 1873:  Шенкс вычислил 707 разрядов, из которых правильных 527

    Шенкс знал, что π иррационально, поскольку  это было доказано Ламбертом в 1761 году. Вскоре после его вычислений Линдман доказал трансцендентность π, то есть, что π не является решением никакого полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. В действительности, результат Линдемана показывает не реализуемость «квадратуры круга». Трансцендентность π влечет невозможность построения циркулем и линейкой квадрата, по площади равного заданному кругу.

    Очень скоро после расчетов Шенкса любопытную статистическую несуразность заметил  де Морган, обнаруживший в последних  из 707 разрядах подозрительную нехватку семерок. Он упоминает это в своей книге «Основания парадоксов» 1872 года и эта странность оставалась необъяснимой вплоть до 1945 года, когда Фергюсон обнаружил ошибку Шенкса в 528 знаке, после которого все цифры были неверны. В 1949 году использование компьютера позволило вычислить π до 2000 разряда. В этом и последующих компьютерных расчетах количество семерок незначительно отличается от ожидаемого результата; и в действительности, последовательность цифр до сих пор прошла все статистические тесты проверки случайности.

    Следует немного рассказать о появлении  обозначения π. Вильям Отред в 1647 году использовал символ d/π для обозначения отношения диаметра окружности к ее длине. Дэвид Грегори (1697) употреблял π/r для отношения длины окружности к ее радиусу. Впервые использование символа π в его настоящем значении было сделано британским математиком Вильямом Джоунсом в 1706 году, когда он сформулировал «3.14159 andc. = π». Эйлер перенял этот символ в 1737 году, после чего это обозначение быстро стало общепринятым.

    к Эдмонд Ландау, обусловлен в конечном счете  тем фактом, что  чуждое немецкой культуре поведение этого  человека в области  исследований и преподавания, недопустимо для немецкого понимания. Люди, осознающие количество других наций, работающих, чтВ заключение приведу любопытный статистический факт, связанный с вычислением числа π, именуемый «иглой Бюффона». Если имеется равномерная решетка из параллельных линий с единичным расстоянием между ними, и мы бросаем в нее иглу длины k < 1, то вероятность пересечения линии иглой равна 2k/π. Многие пытались вычислить значение π путем бросания иглы. Наиболее замечательный результат принадлежит Лазерини (1901), сделавшему 34080 бросаний и получившему

    π = ³⁵⁵/₁₁₃ = 3.1415929,

    что в точности совпадает со значением  Зу Чонгжи. Такой исход подозрительно  хорош, и игра заканчивается странным числом 34080 бросаний. Кендал и Моран  объясняют такое хорошее значение тем, что оно могло быть получено путем остановки эксперимента в наилучший момент. Если наперед устанавливается количество бросаний, то вычисление π таким путем очень неточно. Кендал и Моран утверждают, что тогда лучше вырезать из дерева круг и вычислить его диаметр и длину окружности при помощи мерной рулетки.