Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Февраля 2012 в 18:59, реферат
Применение правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система).
a11 a12 … a1n b1
……………………… ……
am1 am2 … amn bm
которую назовем расширенной матрицей системы (14).
Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c1, c2, ..., сп – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:
.
из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2, ..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz, ..., сп — решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.
Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.
.
где c1, c2, ..., сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x1 = c1, ..., хп = сп, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.
Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.
Пример 1. Рассмотрим систему
2x1 + x2 – 4x3 – 2x4 = 1;
Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например
а все миноры третьего порядка равны нулю.
Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например
Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.
Пример 2. При каких k совместна система уравнений
Поскольку r ≠ 0, то эта система совместна в двух случаях: когда ∆ ≠ 0
И когда R = r = 1. Поэтому рассмотрим два случая.
1) Если ∆ = 0, т.е. если r ≠ 0, т.е. если k2 ≠ 4, то по правилу Крамера система имеет единственное решение.
Значит, для любого k, кроме k = 2 и k = –2, система имеет единственное решение.
2) Если R = r = 1, т.е. если
1 k = 3 k = 1 3 = 0,
k 4 6 4 k 6
т.е. если k = 2, то система совместна.
Подводя итог, получаем, что исходная система совместна при любых k кроме k = –2.
Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:
Основная матрица этой системы
имеет ранг r, причем 0 < r < 2.
Расширенная матрица
имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.
Имеют место следующие утверждения.
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (26). Тогда:
Справедливы и обратные утверждения.
R = 1, либо r =1 и R = 2.
4. Если система (26) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.
Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (26) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (26)
Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями
где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем достаточность условий.
a1 b1 = 0, c1 b1 = 0, a1 c1 = 0.
a2 b2 c2 b2 a2 c2
Эти условия можно переписать так:
Рассмотрим теперь все возможные случаи.
а) Если а1 = 0, то b1 ≠ 0, так как a1 + b1 ≠ 0. Тогда из (28) следует, что а2 = 0, а так как a2 + b2 ≠ 0, то b2 ≠ 0. Тогда из (29) находим, что c1/b1 = c2/b2 = α и при этом уравнения прямых примут вид
b1(y – α) = 0, b2(y – α) = 0. Поскольку b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.
б) Если b1 = 0, то а1 ≠ 0, а из (28) тогда следует, что b2 = 0(причем
-43-
а2 ≠ 0). Тогда из (30) имеем c1/a1 = c2/a2 = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а1(x – β) = 0, а2(x – β) = 0. Поскольку
а1 ≠ 0, а2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.
в) Если а1 ≠ 0 и b1 ≠ 0, то из (28) вытекает, что а2/a1 = b2/b1 = γ, а из (29) и (30) вытекает, что с2 = b2c1/b1 = a2c1/a1. Т.е. получаем, что
а2 = γа1, b2 = γb1, c2 = γc1, и поэтому уравнения прямых примут вид
a1x + b1y – c1 = 0, γ(a1x + b1y – c1)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.
Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.
1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.
Следовательно, r = R = 2.
2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.
Следовательно, r = 1, R = 2.
3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.
Следовательно, r = R = 1.
Т е о р е м а д о к а з а н а п о л н о с т ь ю.
Список литературы: