Исследование гамильтониана Хенона-Хейлеса на хаос

Санкт-Петербургский  государственный университет 
Факультет Прикладной математики и процессов управления 
 
 
 

 

Отчет

Исследование  гамильтониана Хенона-Хейлеса на хаос 
 

 

 

 

Выполнил: студент 3 курса 341 группы

БАКЫТБЕК  Нурсултан

 

Проверил: д.ф.-м.н., проф. Андрианов С.Н.  
 
 
 
 
 
 
 

 
Санкт-Петербург – 2012 

Содержание.

 

• Постановка задачи
• Цель работы
• Исследование
• Вывод

 

Постановка задачи.

Гамильтониан  Хенона-Хейлеса используется в большом количестве прикладных задач. Его применение, однако, может привести к хаотическому поведению описываемой динамической системы, которое ведёт к полному её разрушению. Чтобы этого не произошло, и проводится исследование самого гамильтониана на хаос.

 

 

Цель работы.

-  Провести анализ поведения гамильтониана Хенона-Хейлеса

при изменении начальной энергии  E (или H₀) с помощью его фазового портрета.

-  Определить при каких значениях  энергии достигается хаос.

-  Посредством изменения одного  из коэффициентов гамильтониана  провести дальнейший анализ.

 

 

 

Исследование.

 

Для того, чтобы получить точную картину, как выглядит поверхность сечения Пуанкаре и ускорить наш процесс, будем пользоваться  программой henon, которая по заданным параметрам строит фазовый портрет гамильтониана.                                 

Начальные данные: 
 Коэффициенты: w²=1, a =1.1 , b=1.05

          Начальную энергия H₀=0,04

 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее оставляем все данные и  коэффициенты теми же самыми, увеличим только значение начальной энергии  до 0.1:

 

 

Видно, что фазовый портрет немного  “вытянулся”, но хаотического поведения пока не наблюдается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Увеличим значение начальной энергии до 0.11:

 

 

Видим, что фазовый портрет “вытянулся” выше предыдущего.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь увеличим значение начальной энергии до 0.114 а толщину слоя сечения - до 0.006:

 

 

На графике можем заметить, что появились жирные точки на концах “месяца”. Это и есть наш искомый хаос.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь проанализируем поведение  хаоса в зависимости от изменения коэффициента гамильтониана b,.  
 
Построим фазовые портреты при b=1.07; 1.09; 1.11; 1.13;

 

 

Заметим, что хаос “увеличивался” до b=1.09, а дальше он “спадает”. Также было замечено, что абсцисса хаоса понемногу увеличивается, по мере увеличения b, но изменений по ординат в хаосе не наблюдалось.

 

Теперь построим фазовые портреты при b=1.03; 0,9; 0.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из рисунков видно, что по мере уменьшения b, хаос “возрастает”, сдвигается вправо по абсциссе, «вытянутым» по ординате.  
 
Хочется отметить, что при b>=1.29 программа выдаёт предупреждение: ”Дальнейшее вычисление траектории бессмысленно, так как относительная погрешность Н больше дельта!”.  А при b<=0.4 фазовый портрет кардинально меняется. Можете убедиться в этом, посмотрев на последний скриншот.

 

 

Вывод.

Итак, при всех данных по умолчанию  и толщине слоя 0.006 хаос был установлен при Н=0.114.  Нельзя сформулировать строгое правило поведения хаоса от изменения коэффициента гамильтониана b. Его изменение по-разному влияет на хаос.