Исследование функции и построение её графика

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский  государственный горный  институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Расчётно-графическое задание №1

Вариант №6

По дисциплине:                       Высшая математика

                                   (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема: Исследование функции и построение её графика

Выполнил: студент  гр. ТО-04                      ______________               /Москвина М.М./

                                                                                                                             (подпись)                                             (Ф.И.О.)  

ОЦЕНКА: _____________

Дата: __________________

ПРОВЕРИЛ:

Руководитель: профессор                     ____________                            /Господариков А.П./

                                        (должность)                                             (подпись)                                                                       (Ф.И.О.)

                                                            Санкт-Петербург

                                                                  2005 год.

ЗАДАНИЕ

ВАРИAНТ № 6.

1)      Исследовать функцию и построить график: .

2)      Исследовать функцию и построить график . 

3)      Решить задачу: Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы из него можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

Задание №1.

Исследовать функцию

1.) а) Находим область определения функции

х10    х(-;10)(10;+)

     б) Определяем свойства функции

        1. f(-x)=;   f(-x)f(x)-f(x),   функция

  является функцией общего вида. Следовательно, её график не обладает свойствами      симметрии.

        2. Функция не обладает свойством периодичности.

     в) Находим область значений функции

     Е(у)=(-;+)

2.) Определяем интервалы монотонности. Находим первую производную:

у=

у=0

х2-20х+64=0

х1=4

х2=16

Критические точки функции: х=4 и х=16   и .

  +                 -                      -                 +                         

          4                   10                    16           x               

Исследование перемены знака  при переходе через критические точки представлено в табл.1. Вычислим  уmax=у(4)=1 и уmin=у(16)=25

При х(-;4)(16;+) функция возрастает

При х(4;10)(10;16) функция убывает

3.) Вычисляем вторую производную:

Точек перегиба нет. При х(-;10) функция выпукла

                                   При х(10;+) функция вогнута

                  -              10               +

                                                                         x

4.) Определяем асимптоты графика функции.

1.       Вертикальная асимптота:

,следовательно - вертикальная асимптота.

2.       Наклонная асимптота:

y=kx+b

k=

b= наклонная асимптота

таблица 1.

5.)Определяем дополнительные точки графика функции:

     Пересечение с осями координат:

1.С осью абсцисс (на ОХ у=0)

x2-7x+6=0

x1=6

x2=1

Получили точки с координатами (6;0) и (1;0)

2.С осью ординат (на ОУ х=0)

у=

Получили точку с координатами (0;-0,6)

Задание №2.

Исследовать функцию

1.) а) Находим область определения функции

          x>0         x(0;+)

     б) Определяем свойства функции

        1. f(-x)f(x)-f(x),   функция y=x+lnx

  является функцией общего вида. Следовательно, её график не обладает свойствами       симметрии.

        2. Функция не обладает свойством периодичности.

     в) Находим область значений функции

     Е(у)=(-;+)

2.) Определяем интервалы монотонности. Находим первую производную:

у=1+>0   экстремумов нет. Функция возрастает в области определения.

3.) Вычисляем вторую производную:

у= - <0   точек перегиба нет. Функция всюду выпукла.

4.) Определяем дополнительные точки графика функции:

    Пересечение с осями координат:

1.       Точек пересечения с осью ординат нет.

2.       Точка пересечения с осью абсцисс (0,565;0)

Задание №3.

Решить задачу: Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы из него можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

                a

V=  

h=

Отсюда V=

V=

V=0

Так как на концах промежутка V(0)=V(2)=0 и V()>0 внутри промежутка, то при =2 объём наибольший.

V наиб=

5