Использование пакетов символьной математика на факультативных занятиях

Ядро, библиотеки, пакеты расширения и справочная система  современных СКМ аккумулируют знания в области математики, накопленные  за тысячелетия ее развития. Поэтому СКМ относят к интеллектуальным программным продуктам, одно из назначений которых - предоставление пользователю знаний в области численных методов расчета и моделирования, аналитической математики и современной графики [13, с. 28-32].

Возможность применения той или иной СКМ при изучении стереометрии в решающей степени определяется не только ее аппаратными требованиями к ПК, но и функциями.

Таблица 1.

Сравнительная характеристика СКМ

 

Система	Назначение и достоинства	Ограничения и недостатки
Derive	Аналитические вычисления. Скромные требования к аппаратным ресурсам Наличие русифицированных версий	Слабая графика и  визуализация
MuPAD	Хорошая графика. Развитые средства программирования Развитые средства форматирования документов. Умеренные требования к  аппаратным ресурсам	Сложное форматирование графиков. Скромная справочная система. Малое время апробации и малая  известность
Mathcad	Прекрасная графика  и визуализация на всех этапах вычислений, включая ввод. Образцовый интерфейс. Ввод данных с помощью палитр математических знаков. Удачный отбор операторов и функций. Множество примеров, электронных книг и библиотек	Ограниченные средства символьной математики. Повышенные требования к аппаратным ресурсам. Дороговизна  электронных книг и библиотек.
Maple	Уникальное ядро символьных вычислений. До 3000 функций. Мощнейшая графика. Удобная справочная система. Развитые средства форматирования документов	Повышенные требования к аппаратным ресурсам. Отсутствие синтеза звуков. Ориентация на опытных  пользователей и специалистов по математике
Mathematica	Совместимость с разными  компьютерными платформами. Уникальная трехмерная графика. Поддержка синтеза  звука. Развитые средства форматирования документов. Мировое лидерство	Высокие требования к  аппаратным ресурсам. Чрезмерная защита от копирования. Ориентация на опытных  пользователей
MATLAB	Уникальные матричные  средства, обилие численных методов, описательная (дескрипторная) графика, высокая скорость вычислений, легкость адаптации к задачам пользователя благодаря множеству пакетов расширения системы	Чрезмерно высокие требования к аппаратным ресурсам. Скромные возможности  символьных вычислений. Дороговизна  как самой системы, так и пакетов  расширения. Чрезмерная элитарность

 

Возможности систем компьютерной математики по решению задач в аналитическом виде (чаще всего, в численном) заметно различаются.

Тем не менее, можно назвать  ряд типовых задач, которые могут  решаться с их применением [14].

 

Рисунок 3. Общие возможности всех систем математики

Большинство языков программирования имеют средства для создания программных  модулей - процедур и функций с аппаратом локальных переменных и возможностью задания входных параметров. Однако правила их задания различны у разных систем. Это относится и к средствам создания управляющих структур условным операторам, циклам и переключателям.

Некоторые системы (например, Maple или Mathematica) перенасыщены операторами  и функциями ввода/вывода и функциями  преобразования данных. Это обусловлено  их спецификой - реализацией сложных символьных операций. Однако настройка систем по умолчанию такова, что позволяет обычному пользователю забыть о большинстве указанных операторов и функций. Зато для опытного пользователя, например готовящего пакеты расширения таких систем, наличие указанных средств принципиально важно и полезно [14].

В целом надо отметить, что полноценный язык программирования характерен только для наиболее мощных систем - Maple, Mathematica и MATLAB.

Системы класса Derive имеют  зачаточный уровень функционального программирования, а возможности программирования в популярных системах Mathcad иначе как скромными не назовешь. Однако они дополнены мощными средствами визуально-ориентированного программирования, облегчающими работу с этими системами и позволяющими готовить документы высочайшего качества [14].

Довольно обширен и  набор специальных математических и иных функций в системах компьютерной математики. Их особенно много в  системах Maple  и Mathematica.

Несмотря на то что  число математических функций может  достигать сотен, системы компьютерной математики дают пользователю возможность задавать свои функции (а порой и операторы). Такие функции называют функциями пользователя.

Обычно их задают в  форме:

имя_функции (список_параметров):=тело_функции

Телом функции является выражение, содержащее переменные, заданные в списке параметров. Такие переменные являются локальными.

Таблица 2.

Возможность использовать систему математики при изучении стереометрии в курсе средней школы

Критерии	Системы математики
	Maple	Mathematica	Mathcad	MATLAB
графика	Мощнейшая	Уникальная трехмерная	Прекрасная, визуализация	Прекрасная визуализация
Требования к аппаратным ресурсам	Повышенные	Высокие	Повышенные	Чрезмерно высокие
Стоимость	Расширенная поддержка системы Maple через Интернет, на сайте корпорации Waterloo Maple Inc. масса информационных материалов, обучающих программ и примеров применения Maple, обширные возможности  в пополнении своих знаний и навыков работы с Maple 7.	Дороговизна. Чрезмерная защита от копирования	Дороговизна электронных  книг и библиотек	Дороговизна как самой  системы, так и пакетов расширения.
Квалификация пользователей	опытные	опытные	опытные	опытные

 

Анализ данных таблицы 6, показывает, что наиболее приемлемой системой компьютерной математики для изучения стереометрии, с учетом  возможностей системы и стоимости, как самой системы, так и аппаратных ресурсов, является Maple 7.

Программа Maple корпорации Waterloo Maple Inc. — патриарх в мире систем компьютерной математики. Эта система, снискавшая себе мировую известность и огромную популярность, является одной из лучших среди систем символьной математики, позволяющих решать математические задачи в аналитическом виде.

Maple 7 вобрала в себя не только обширные и мощные возможности- предшествующих реализаций системы, но и предоставила в распоряжение пользователя ряд новых возможностей. Прежде всего это целый букет пакетов: CurveFitting, PolynomialTools, OrthogonalSeries и др.

Maple как система компьютерной математики развивается по ряду характерных направлений. Одно из них - повышение мощности и достоверности аналитических (символьных) вычислений. Это направление представлено в Maple наиболее сильно. Maple 7 уже сегодня способна выполнять сложнейшие аналитические вычисления, которые нередко не под силу даже опытным математикам. Конечно, Maple не способна на «гениальные догадки», но зато рутинные и массовые расчеты система выполняет с блеском.

Интеграция Maple с другими  программными средствами - еще одно важное направление развития этой системы. Ядро символьных вычислений Maple уже включено в состав целого ряда систем компьютерной математики - от систем «для всех» класса Mathcad до одной из лучших систем для численных расчетов и моделирования - MATLAB. Имеется целый ряд автоматизированных рабочих мест для математиков на основе ядра системы Maple: Math Office, Scientific Word, Scientific Workplace и др.

Предусмотрена и интеграция Maple 7 с Excel 2000 и MATLAB. Однако альянс Maple 7 с Excel трудно назвать удачным. Во-первых, потому, что куда более распространенная версия Excel 97 связь с Maple 7 не поддерживает. Во-вторых, введенные в Maple 7 средства работы с таблицами (в том числе новые) в большинстве случаев оказываются более удобными, чем обычные средства работы с таблицами у Excel. Достаточно отметить, что таблицы в Maple могут работать с формульными данными и построение рисунков в Maple не требует создания таблицы данных для них, как это нужно в Excel.

Существенно расширена  поддержка системы Maple через Интернет. Появление на сайте корпорации Waterloo Maple Inc. массы информационных материалов, и прежде всего обучающих программ и примеров применения Maple, разгрузило саму программу и предоставило ее пользователям обширные возможности в пополнении своих знаний и навыков работы с Maple 7.

С другой стороны, резко  повышены возможности Maple 7 для создания web-страниц  основы Интернета. Здесь  прежде всего надо отметить включение  в пакеты средств поддержки языков HTML, XML и (что особенно важно) MathML [15].

 

Глава II. Математический пакет Maple при обучении стереометрии на факультативных занятиях

§1. Математический пакет Maple как мультимедийное средство создания наглядности на стереометрии в старшей школе

 

Лидером по графическим  возможностям и наглядности среди математических систем для персональных компьютеров долгое время считалась система Mathematics 3. Однако в реализации Maple 7 возможности графики системы приблизились к таковым у системы Mathematica 3 и даже Mathematica 4. Они настолько обширны, что, будь математическая графика Maple 7 единственным назначением системы, оно вполне оправдало бы ее разработку.

Maple - система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Это указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов [15].

 «Maple - программный пакет, система компьютерной алгебры. Создана в фирме Waterloo Maple Inc., которая основана в 1984 году и выпускает и продвигает на рынке ряд программных продуктов, ориентированных на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, частично подобный Паскалю» [17, с. 352].

Графика Maple 7 реализует  все мыслимые (и даже «немыслимые») варианты математических графиков - от построения графиков простых функций в Декартовой и в полярной системах координат до создания реалистических образов сложных пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской. Возможны наглядные графические иллюстрации решений самых разнообразных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений.

В само ядро Maple 7 встроено ограниченное число функций графики. Это, прежде всего функция для построения двумерных графиков (20-типа) - plot и функция для построения трехмерных графиков (Зd-типа) - plot3d. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов. Для построения графиков специального типа (например, в виде векторных полей градиентов, решения дифференциальных уравнений, построения фазовых портретов и т.д.) в пакеты расширения системы Maple 7 включено большое число различных графических функций. Для их вызова необходимы соответствующие указания [16, с. 18].

Maple 7 позволяет создавать трехмерные изображения произвольной формы методом модификации готовых примитивов. Это открывает возможность создания разнообразных иллюстрационных рисунков и графиков, часто применяемых при изучении курса стереометрии. Могут строиться самые различные объемные фигуры и поверхности - конусы, цилиндры, кубы, полиэдры и т. д. Использование средств функциональной окраски делает изображения очень реалистичными наглядными.

 

Рисунок 4.. Построение цилиндра и двух граненых шаров

 

Рисунок 5. Построение двух объемных фигур

 

Рисунок 6. Примеры применения примитивов трехмерной графики пакета plottools

Рисунок 4 показывает построение цилиндра и двух граненых шаров. Цилиндр строится примитивом cylinder, а граненые шары — примитивом icosahedron.

Другой пример (рисунок 5) иллюстрирует построение на одном графике двух объемных фигур, одна из которых находится внутри другой фигуры. Этот пример демонстрирует достаточно корректное построение вложенных фигур.

На рисунке 8 показано совместное построение двух пересекающихся кубов и сферы в пространстве.

Нетрудно заметить, что  графика пакета Maple приблизительно (с точностью до сегмента) вычисляет области пересечения фигур. С помощью контекстно-зависимого меню правой кнопки мыши (рисунок 6) можно устанавливать условия обзора фигур, учитывать перспективу при построении и т. д. В частности, фигуры на рисунке 6 показаны в перспективе.

Библиотека примитивов содержит графические образы прямой, плоскости, куба, цилиндра, конуса, сферы.

Средства для построения графиков принято считать графическими процедурами или операторами:

• графические средства Maple возвращают некоторые графические объекты, которые размещаются в окне документа в строке вывода или в отдельном графическом объекте;
• эти объекты можно использовать в качестве значений переменных, т.е. переменным можно присваивать значения графических объектов и выполнять над ними соответствующие операции (например, с помощью функции show выводить на экран несколько графиков).

Графические функции  заданы таким образом, что обеспечивают построение типовых графиков без  какой-либо особой подготовки. Все, что  для этого нужно, это указать  функцию, график которой строится, и пределы изменения независимых переменных. Однако с помощью дополнительных необязательных параметров - опций можно существенно изменить вид графиков, например, изменить стиль и цвет линий, вывести титульную надпись, изменить вид координатных осей и т.д. [18, с. 132]