Игра "Ястребы и голуби"

2.2.   Математическая формулировка

Чтобы перевести игру на язык математики, оценим результаты турнира в виде условных единиц (очков), полученных или потерянных участниками. Победу в турнире (возможность оставить потомство) оценим в V = 50 очков, проигрыш в L = 0 очков, получение тяжёлого увечья в W = –100 очков, а затраты энергии на длительное противостояние в E = –10 очков.

Тогда в схватке двух голубей один из них получает 50 очков выигрыша и, кроме того, оба растрачивают 10 очков в процессе длительного противостояния. Считая, что вероятность победы для каждого одинакова (т.е. 0.5), получим, что средний выигрыш голубя в схватке с другим голубем составит S(Г, Г) = 50∙0,5 – 10 = 15 очков.

В схватке двух ястребов каждый с вероятностью 0,5 получает выигрыш в 50 очков и с такой же вероятностью – увечье, которое мы оценили в –100 очков. Средний выигрыш составит S(Я, Я) = (50–100)∙0,5 = –25 очков.

В схватке голубя с ястребом голубь проигрывает и получает S(Г, Я) = 0 очков, ястреб выигрывает и получает S(Я, Г) = 50 очков.

Результаты турнира можно наглядно представить в виде так называемой платёжной матрицы:

Обозначим долю ястребов в популяции через z, тогда доля голубей составит 1–z. Если в схватке случайным образом участвуют два самца, то с вероятностью z2 это два ястреба, с вероятностью (1–z)2 – два голубя и с вероятностью 2z(1-z) – голубь против ястреба.

Найдём среднее количество очков, которое получают соперники в результате схватки.

Ястреб с вероятностью z дерётся с другим ястребом и получает в среднем –25 очков и с вероятностью 1–z с голубем и получает 50 очков. В среднем это составит

SЯ(z) = –25∙z + 50∙(1–z) = –25z + 50 – 50z = 50 – 75z.

Аналогично для голубя получим

SГ(z) = 0∙z + 15∙(1–z) = 15 – 15z.

Построим графики этих уравнений в осях координат S – z.

Как видно из графика, линии выигрыша для голубей и ястребов пересекаются в некоторой точке, определяемой соотношением:

50 – 75z = 15 – 15z 60z = 35

z = 35/60 = 0,583…

Правее этой точки (т.е. при увеличении доли ястребов) преимущество имеют голуби, поэтому их относительное количество будет увеличиваться, тем самым уменьшая z. Левее этой точки (при уменьшении количества ястребов) ястребы имеют преимущество, поэтому их количество будет увеличиваться, тем самым увеличивая z. Таким образом, любое смещение z от точки равенства выигрышей голубей и ястребов вызывает процессы, которые стремятся вернуть популяцию в точку равновесия. Состояние популяции, соответствующее точке равновесия, называется эволюционно стабильной стратегией.

2.3.   Формулировка в общем виде

Обозначим выигрыш в случае победы в турнире V, проигрыш L, ущерб от тяжёлого увечья W, и затраты энергии на длительное противостояние E.

Тогда элементы платёжной матрицы можно выразить следующими соотношениями:

Платёжная матрица будет иметь вид:

Средний выигрыш ястребов при их доле в популяции z составит

а средний выигрыш голубей

Точка равновесия популяции будет достигнута при следующей доле ястребов:

Заключение

В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень  сложной областью знания. При обращении  с ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения. Слишком простые толкования, принимаемые фирмой самостоятельно или с помощью консультантов, таят в себе скрытую опасность. Анализ и консультации на основе теории игр из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных областей. Опыт фирм показывает, что использование соответствующего инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных кооперационных договоров. Однако применение теории игр облегчает нам понимание сущности происходящего, а многогранность данного раздела науки позволяет нам успешно использовать методы и свойства этой теории в различных областях нашей деятельности.

Теория  игр прививает человеку дисциплину ума. От лица, принимающего решения, она требует систематической формулировки возможных альтернатив поведения, оценки их результатов, и самое главное - учета поведения других объектов. Человек, знакомый с теорией игр, реже считает других глупее себя, - и потому избегает многих непростительных ошибок. Однако теория игр не может, да и не рассчитана на то, чтобы придать решительности, настойчивости в достижении целей, невзирая на неопределенность и риск. Знание основ теории игр не дает нам  явного выигрыша, но оберегает нас от свершения глупых и ненужных ошибок.

Литература и источники

1.       Дж. фон  Нейман, О. Моргенштерн. «Теория игр и экономическое поведение»,  Наука, 1970.

2.       Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. «Математические методы в экономике», Москва 1997, изд. «ДИС».

3.       Оуэн Г. «Теория Игр». – М.: Мир, 1970.

4.       Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4.

5.       Раскин М. А. «Введение в теорию игр» // Летняя школа «Современная математика». – Дубна: 2008.

6.       http://ru.wikipedia.org/wiki/

7.       http://ru.wikipedia.org/wiki

8.       http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/104891

9.       http://ru.wikipedia.org/wiki

10.   http://www.rae.ru/zk/arj/2007/12/Stepanenko.pdf

11.   http://banzay-kz.livejournal.com/13890.html

12.   http://propolis.com.ua/node/21

13.   http://www.cfin.ru/management/game_theory.shtml

14.   http://konflickt.ru/16/

15.   http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/IGR_TEORIYA.html

16.   http://matmodel.ru/article.php/20081126162627533

17.   http://www.nsu.ru/ef/tsy/ec_cs/kokgames/prog3k.htm