Геометрияның негіздемесі

1. Гильберт аксиомалар жүйесі: аксиоматикалық теория, аксиомалар жүйесіне шолу.

Давид Гильберт – 1862 жылы 23 қаңтарда дүниеге келген неміс математигі, математикаға үлкен үлес қосқан ғалым. 1884 жылы  Кенигсберг университетін бітірді. 1893-1895 жылдары – Кенигсберг университетінің профессоры, ал 1895-1943 жылдары – Геттингенск университетінің профессоры болды.

Гильберттің ең бір маңызды ғылыми шығармаларының бірі  «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегі. Пиери еңбектері сияқты, Гильберттің бұл еңбегі 1899 жылы бірінші баспадан шыққан. Қазіргі аудармасы 1930 жылы жетінші баспадан бастап істеген. Осы еңбегінде евклидтің геометриясының аксиомасының толық жүйесін берді. Гильберт жүйелі түрде өз аксиомаларының өзара тәуелсіздігін үйренеді және өзі іргелі геометриялық теоремалардың аксиомаларын жасады. 

Гильберттің «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегіндегі аксиоматикаға арналған бөлімінің алғы сөзінде былай деп жазылған «Геометрия – арифметика сияқты өзінің құрастырған тек қана біршама негізгі ережелерін талап етеді. Бұл негізгі ережелер геометриялық аксиомалар деп аталады. Геометриялық аксиомалардың анықталуы және олардың арақатынастарының зерттелуі Евклид заманындағы математикалық әдебиеттің көп ғажайып шығармаларының тақырыбы болып табылған.

Зерттеулердің жаңа талаптарын ескере отырып толық және оңай аксиомалар жүйесін геометрия үшін орнатуға болады, сонымен қатар ең маңызды геометриялық аксиомалармен теоремалар түсінікті болу үшін аксиомалардың әр түрлі топтарынан жеке аксиомалар пайда болды».

АКСИОМАНЫҢ БЕС ТОБЫ

Геометриялық элементтер және аксиоманың бес тобы

Біздің ойымызша үш түрлі  жүйенің жиыны бар: бірінші жиынды нүкте деп атаймыз және олар А, В, С , . . . ; екінші жиынды түзу деп атаймыз және олар а, в, с, . . . ; үшінші жиынды жазықтық деп атаймыз және олар

α, β, γ, . . . ; нүкте сонымен қатар сызықтық геометрияның элементі, нүкте және түзу – геометриялық жазықтықтың элементі, нүкте, түзу және жазықтық – геометриялық кеңістіктің элементі.

Біздің ойымызша нүкте, түзу және жазықтық арасындағы қатынастар анықталған және осы қатынастарды мынадай сөздер арқылы енгіземіз: «жатады», «аралық», «конгруенттік», «параллельдік», «үзліссіздік». Нақты және математикалық мақсаты үшін толық қатынастар сипатталады және ол геометриялық аксиомаларға сүйенеді.

Геометриялық аксиомалар бес топқа бөлінеді. Әр топтағы аксиомалар бір – бірімен байланысты. Олар былай аталады:

I_1-8.   байланыс аксиомасы,

II_1-4.  реттілік аксиомасы,

III_1-5. конгруенттілік аксиомасы,

IV.    параллельдік аксимасы

V_1-2.  Үзліссіздік аксиомасы. 

Аксиоманың бірінші тобы: байланыс аксиомасы

Бұл топтағы аксиомаларға нүктелер жиыны, түзулермен жазықтардың  аралық тиістілігінің қатынасы енгізілген және осы топ аксиомалары мынадай  салдарларға бөлінеді:

I₁. А және В кез келген екі нүктелер үшін тиісті а түзуі бар.

I₂.  А және В нүктелерінің  кем дегенде біреуі бір түзуде жатады.

I₃. Түзудің бойында кем дегенде екі нүкте жатады, кем дегенде үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды.

I₄. Кез келеген үш нүкте А, В, С  бір түзудің бойында жатпайды,  үш нүктенің әрқайсысы α жазықтығына тиісті. Қандайда бір жазықтыққа тиісті әрқашанда нүкте болады.

I₅. Кез келген А, В, С нүктелері, бір түзудің бойында жатпайтын, кем дегенде бір жазықтықта осы нүктелер жатады.

I₆. Егер екі А, В нүкте а түзу α жазықтығында жатса, онда α жазықтығында нүкте а түзуінде жатады.

I₇. Егер екі α және β жазықтығына ортақ  А нүктесі болса, онда осы жазықтықтарға кем дегенде тағы бір ортақ нүктесі  В болады.

I₈. Кем дегенде төрт нүкте бір жазықтықта жатпауы мүмкін.

Аксиоманың екінші тобы: реттілік аксиомасы

Бұл топтағы аксиомалар «аралық» ұғымы мен байланысты және осы ұғым арқылы кеңістіктегі жазықтықтың, нүктелердің, түзулердің реттілігінің негізін қалайды.

II₁. Егер В  нүктесі  А және С нүктелерінің аралығында жатса, онда А,В,С нүктелері бір түзудің бойында және  В  нүктесі  С  және  А нүктелерінің аралығында жатады.

II₂. Кез келген А және С нүктелері бір түзудің бойында жатады. А,С нүктелерімен қатар сол түзуге кем дегенде бір В нүктесі тиісті және С нүктесі А және В нүктелерінің аралығында жатады.

II₃. Бір түзудің бойында жататын үш нүктенің кем дегенде біреуі екі нүктенің арасында жатады.

II₄. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте А,В,С және осы нүктелерден құралған АВС жазықтығын а түзуі қиып өтсін,осы нүктелердің ешқайсысы а түзуінде жатпайды. а түзуі АВ кесіндісін қию үшін АС немесе ВС кесіндісін қиып өтеді.

Аксиоманың үшінші тобы: конгруенттілік аксиомасы

Бұл топтағы аксиомалар конгруенттілік ұғымына және сол сияқты қозғалыс ұғымына байланысты.

III₁. Егер А,В нүктелері а түзуіне тиісті  және сол сияқты А^| нүктесі а^| түзуіне тиісті болсын, онда а^| түзуінен әрқашанда В^| нүктесі табылады. Сондықтан АВ кесіндісі конгруентті немесе тең А^| В^| кесіндісіне

.

III₂. Егер А^| В^| кесіндісі және А^|| В^||  кесіндісі А В кесіндісіне конгруентті болса, онда А^| В^| кесіндісі А^|| В^||  кесіндісіне конгруентті болады, яғни, егер екі кесінді үшінші кесіндіге конгруентті болса, онда олар бір-біріне конгруентті.

III₃. Егер АВ және ВС а түзуіндегі ортақ нүктесі жоқ кесінділер және   А^| В^|  пен В^|С^|  а^|  түзуіндегі ортақ нүктесі жоқ кесінділер болсын; егер осыдан

,

онда

 

III₄. Берілген бұрыш <(h, k) α жазықтығында және а^| түзуі α^| жазықтығында болсын, сондай-ақ толығымен а^| түзуі α^| жазықтығына қатысты. h^|  луч а^| тиісті болсын, шыққан О^| нүктесі; мұндай жағдайда бір α^| жазықтығы және тек қана бір k^| луч, келесі жағдайға орындалады: бұрыш

<(h^|, k^|) конгруентті, яғни, <(h^|, k^|) бұрышына тең, сонымен бірге барлық ішкі нүктелердің бұрышы <(h^|, k^|) α^|  жазықтығында жатады, а^|  түзуіне негізделіп. Бұрыш  <(h, k) конгруентті <(h^|, k^|) бұрышына

<(h, k) <(h^|, k^|).

Әрқашанда әрбір бұрыш өз-өзіне конгруентті

<(h, k) <(h, k ).

III₅. Егер екі үшбұрыш АВС және А^| В^| С^|  бір-біріне конгруентті болса

 

         онда конгруентті

 

Аксиоманың  төртінші тобы: параллелдік аксиомасы

 

а түзуі бар дейік, түзуге тиісті емес нүкте берілген, олар жазықтықта анықталған болсын. а түзуімен қиылыспайтын А нүктесі арқылы көптеген түзулер жүргізуге болады және олардың біреуі а түзуіне параллель болады.

 

Аксимасның  бесінші тобы: үзліссіздік аксиомасы

 

V₁. (Архимед аксиомасы ). Егер қандайда бір АВ және СD кесінділері бар болсын; онда түзудегі АВ кесіндісі А₁, А₂, А₃,…,А_n нүктелерді қабылдайды, сондай-ақ, сол нүктелерден  құралған кесінділер АА₁, А₁ А₂, А₂ А₃ ,…, А_n-1 А_n  конгруентті СD кесіндісіне және В нүктесі  А және А_n нүктелерінің арасында жатады.

V₂. Түзудегі нүктелерден жүйе құралады, сызықтық реттілігі сақталған, бірінші конгруенттілік аксиомаларына және Архимед аксиомаларына ешқандай рұқсат етілмеген, осы нүктелер жүйесіне тағы да осылай нүктелер енгізу, себебі жүйе, бастапқы және енгізілген нүктелер, толық барлық аксиомаларға тиісті.

2. Ғылымның аксиоматикалық теориясы. Модель және модельдердің изоморфизмі.

              Аксиоматикалық әдіс және оның даму тарихы.

Математикада  математикалық структуралар ғана зерттеледі. Оның негізгі әдісі– аксиоматикалық әдіс: онда әрбір тектің структурасы өзіне сәйкес аксиомалардың тізімі бойынша анықталады, одан әрі таза логикалық жолмен сол тектің структурасының теориясы жасалады. Қазіргі замандағы математика, көптеген тарауларға және бір қарағанда зерттеулердің бірінен-бірі алшақ әр түрлі бағыттарына бөлініп кететін білімдердің ұлан байтақ саласы болып көрінетіндігіне қарамастан, біртұтас ғылым дей алмаймыз. Оның зерттеу пәні–математикалық стуктуралар жиыны, оның негізгі әдісі–аксиоматикалық әдіс.

 Геометрия аксиомаларын жүйелі зерттеген ғалымдар

        Үздіксіздік аксиомасын неміс математигі Рихард Дедекинд 1872 жылы тағайындады. Паш аксиомасын неміс математигі Мориц Паш 1882 жылы ғана тұжырымдады. «Негіздер» ондаған ұлы геометрлердің қолынан өтті: Кавальери, Дезарг, Паскаль, Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Гюйгенс, Эйлер, Лагранж, Понселе, Штаудт т.б. бұлардың бәрі ол аксиоманы көрмеген, ал Евклид бұлардан 18-20 ғасыр бұрын өмір сүрген.

Геометрия аксиомаларын жүйеге келтірушілердің ең көрнектісі Гильберт болды. Оның математика тарихындағы ең маңызды еңбегі де осында. Бірақ, оның да сүрінген кездері де болды. Гильберт кітабының бірінші басылуында (1899 жылы) қазір «толымдылық аксиомасы» деп аталатын аксиома болмаған. Бұл жағдайда геометрияның толық курсын құруға болмайтындығын француз математигі Анри Пуанкаре (1854 – 1912) дәлелдеген. Толымдылық аксиомасын Гильберт өз тізіміне тек Пуанкаре сынынан кейін ғана енгізген.

Евклидтің төртінші аксиомасы  мынадай еді: «тік бұрыштардың бәрі бірдей болады». Гильберт бұл сөйлемді аксиомалар тізімінен шығарып, теорема ретінде дәлелдеп берді.

Гильберт анықтама берілмейтін  алғашқы ұғымдарды аксиомаларға жүгіндірді, нүктенің, түзудің, жазықтықтың, т.с.с. геометриялық сипатын аксиомалар тағайындайтын етті. Бұлардың арасындағы байланыс «жатады», «арасында», «конгруент», «параллель», «үздіксіз» сөздері арқылы айқындалатынын көрсетті. Қазір геометрия аксиомалары осы бес сөзге қарай  б е с  т о п қ а  бөлінеді.

Бесінші постулаттың (ол қазір XI аксиома деп те аталады) ұзақ тарихы бар. Ол «Негіздерде» былай тұжырымдалған: Екі түзуді үшінші бір түзу қиып өткенде үшінші түзудің бір жағында қосындысы екі тік бұрыштың қосындысынан кем ішкі бұрыштар құралатын болса, шектеусіз созғанда алғашқы айтылған екі түзу қиылысады және қосындының екі тік бұрыштың қосындысынан кем жағында қиылысады. Мұнда түзулер бір жазықтықта орналасқан деп есептеледі.

Бесінші постулат параллель  түзулер теориясымен тығыз байланысты. Евклид «үшбұрыштың сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес ішкі бұрыштарыныңәрқайсысынан артық болады» (1-кітаптың 16-сөйлемі) дейтін теоремаға сүйеніп, төмендегі екі теореманы дәлелдейді:

«Екі түзуді үшінші бір түзу қиып өткенде өзара тең айқыш бұрыштар құралатын болса, онда ол екі түзу бір–біріне параллель болады» (1-кітаптың 27-сөйлемі).

«Екі түзуді үшінші бір түзу қиып өткенде сыртқы бұрышқа тең ішкі сәйкес бұрыш құралатын болса немесе қосындысы екі тік бұрыштың қосындысындай екі ішкі тұтас бұрыш құралатын болса, онда ол екі түзу бір – біріне параллель болады» (1-кітаптың 28-сөйлемі). 

Сонда, бұл теоремалар бойынша  төмендегі бес шарттың бірі орындалғанда, екі түзу бір – біріне параллель  болады:

• сәйкес бұрыштар өзара тең болса;
• ішкі айқыш бұрыштар өзара тең болса;
• сыртқы айқыш бұрыштар өзара тең болса;
• тұтас екі бұрыштың қосындысы 2d болса;
• тұтас екі сыртқы бұрыштың қосындысы 2d болса;

Жоғарыда келтірілген  бес шарттың әрқайсысы түзулердің параллельдігінің жеткілікті шарты  болып табылады. Олардың қайсысы  орындалса да түзулер параллель. Евклид екі түзу параллель болғанда жоғарыдағы бес шарттың орындалатынын бірінші кітаптың 29-сөйлемінде дәлелдейді, дәлелдегенде бесінші постулатқа сүйенеді. Сөйтіп, 27, 28, 29-сөйлемдер арқылы паралллель түзулердің теориясы жасалады.

Ұлы француз математигі Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) өмірінің соңғы кезінде параллель түзулер жайында арнайы кітап жазған, ол туралы Париж академиясында баяндама жасаған. Баяндама жасап тұрып кілт тоқтап: «Мен әлі де ойлана түсуім керек екен» деген. Ғалым өз қатесін түсініп, баяндамасын кейінге қалдырған. Бірақ, бесінші постулатты кейін де дәлелдей алмаған.

Мәліметтерге қарағанда  Лобачевскийге дейін бесінші  постулат жөнінде дүние жүзінде 250 ірі еңбек жазылған. Одан бергі 100 жыл ішінде параллель түзулер  мен геометрия негіздемелері  туралы 6500 шамалы кітп басылған.

Мектеп оқулықтарында бесінші постулат орнына көбінесе онымен пара-пар Плейфер аксиомасы келтіріледі. Ол аксиоманы 1795 жылы ағылшын математигі Джон Плейфер жариялаған.

Бесінші постулатты дәлелдеуге болмайтынына көзі жеткен Лобачевский  Плейфер аксиомасының орнына мынадай аксиома енгізді:

«Түзуден тысқары нүкте арқылы сол түзуді қиып өтпейтіндей етіп кем дегенде екі түзу жүргізуге болады».

Берілген нүкте мен  түзулер мұнда да бір жазықтықта жатады деп есептеледі.

Жаңа аксиома қабылдау нәтижесінде жаңа геометрия –  Лобачевский геометриясы жасалды. Риман геометриясы да осылай туды, оның аксиомасы бойынша берілген нүктеден, берілген түзуді қиып өтпейтіндей етіп бірде бір түзу жүргізуге болмайды. Лобачевский мен Риманның аксиомаларын да дәлеледеуге болмайды. Бұл үш геометрия да дұрыс.

Жоғарыдағы кемшіліктеріне қарамастан, «Негіздер» ғылым тарихында құрметті орын алады. Ол математика тарихындағы тұңғыш ірі документ, 2000 жыл бойы адамдардың сана сезіміне сіңіп кеткен документ, геометрияны мүлтіксіз етіп жасап бере алмаса да, солай жасауға талпынған, соның жолын көрсеткен документ. Ұлы математиктердің бәрі Евклидтің шәкірттері, бәрі де геометриялық білімдерін «Негіздерден» алған.