Геометрическая алгебра Древней Греции

   В  диалоге   Платона  «Законы»  Афинянин  говорит,  что  поздно  узнал  о  несоизмеримости  и  что  до  этого  он  был  подобен  неразумному  животному.

   Геометрическая  алгебра.

   Открытие  несоизмеримости  явилось  причиной  пересмотра  соотношений  между  геометрией  и  арифметикой.  Арифметика  базировалась  на  понятии  целого  числа.  Рациональные  числа   мыслились,  как  пары  целых. Установление того,  что   двух  отрезков  не  может  быть  выражено  с  помощью  отношения  целых  чисел,  привело  к  разрушению  математической  системы  пифагорийцев.

   Начались  интенсивные  поиски  путей  выхода  из  кризиса:

1. расширить  понятие  числа  так,  чтобы  с  помощью  новых  чисел  можно было  бы характеризовать  отношение  любых  двух  отрезков;
2. строить  математику  не  на  основе  арифметики  рациональных  чисел,  а  на  основе  геометрии,  определив  непосредственно  для  геометрических  величин  все  операции  алгебры;
3. отказаться от  строго  логического построения  учения  о  несоизмеримых  величинах,  и  перейти  к  нестрогому  оперированию  с  иррациональными  (как  это  делалось  впоследствии  в  Индии  и  средневековой  Европе).

   Третий  путь  был  неприемлемым  для  греков – он означал  отказ  от  основной  идеи  дедуктивного  построения  математики.

   Первый  путь  на  столь  ранней  стадии  развития   представлял  громадные  трудности  и  практически  он  был  закрыт  для  ранних  пифагорейцев.

   И  они  пошли  по  второму  пути.  Построение  алгебры  на основе геометрии впервые позволило обосновывать  в общем виде  некоторые теоремы и правили алгебры,  однако  при дальнейшем  развитии  геометрическое  облачение как панцирь,  сковало живое тело  античной  математики.  Это мешало  гармоничному  развитию  отдельных частей  математики,  делало  ее  громоздкой   малоподвижной.  Итак,  в пифагорийской школе началось  построение  алгебры   на  основе  геометрии – так называемой  геометрической  алгебры.  Геометрический  язык  стал  применяться в теории  чисел.  Изображение чисел точками расположенными  в виде  правильных  фигур было  оставлено,  теперь  все числа представлялись  отрезками,  полученными повторением конечное  число раз отрезка,  принятого аз  единицу.  На  этой  же  основе  получил  развитие  и  математический  анализ  древних.

   Основными  объектами  геометрической  алгебры  были  отрезки  и  прямоугольники,  и  параллелепипеды.  Сложение  отрезков  осуществлялось    путем  приставления  одного  к  другому,  вычитание  путем  выкидывания  из  большего    отрезка  части,  равной  меньшему. Операция  вычитания  была  возможна  лишь  тогда,  когда  вычитаемое  не превосходило  уменьшаемого.

   Произведением  двух  отрезков  назывался  построенный  на них  прямоугольник.  Не  имело  смысла  говорить  а  сложении  прямоугольников  и  отрезков. Поэтому  исчисление  определенное  в  геометрической  алгебре,  было  ступенчатым.

   Геометрическая  алгебра  изложена  во  второй  книге  «Начал»  Евклида  и  в  произведениях  Архимеда  и  Аполлония,  которые пользовались  ею,  и также, как  и  мы  буквенной  алгеброй.

   Во  второй  книге  «Начал»  доказывается,  что  прямоугольник  заключенный  между  двумя  отрезками,  будет  равен  сумме  прямоугольников,  заключенных  между  одним  из  этих  отрезков  и частями,  на  которые  рассечен  второй  (рис.1), т.е.  если  a=a₁+a₂+a₃, то b(a₁+a₂+a₃) =ba₁+ba₂+ba₃..

   Это  предложение  устанавливает дистрибутивность умножения  по отношению  к  сложению. Это одно  из  преимуществ геометрической  алгебры.

   Доказательство  происходит  независимо  от  того,  будут  ли  отрезки   a и b   или части а₁, а₂, а₃  соизмеримыми  или несоизмеримыми и    независимо  от  конкретных  величин этих  отрезков.  Геометрическая  алгебра позволила впервые доказать  и  притом  общим  образом  некоторые  свойства  алгебраических  операций. Так,  например,  было  установлено  тождество:

    (a+b)²=a²+b²+2ab (рис.2). Отметим, что все эти тождества устанавливались только  для величин двух  измерений. Для представления   произведения   трех  величин нужно было  пользоваться  пространственными фигурами, а произведение  четырех и более отрезков  не  могло быть представлено в рамках трехмерного пространства. Геометрическая алгебра основывалась  на  античной планиметрии,  представляет  собой  геометрию циркуля  и  линейки. Поэтому  она  была  максимально  приспособлена  для  исследования  тождеств,  обе  части  которых  являлись квадратичными  формами,  и для  решения  квадратных  уравнений.

   Евклид.

   Ничего  не известно о нем: откуда он был родом, где и у кого учился. Тем не менее, нет оснований сомневаться в его существовании. Принципиальность Евклида подчеркивают один анекдот о нем.

   Как-то царь Птолемей I спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем штудирование «начал». На это он смело ответил, что «в геометрии нет царской дороги».

   Евклид  является автором «Начал», по которым  учились математики всего мира. Его  глубоко занимали вопросы логических основ математики, и одно из его  сочинений, которое до нас не дошло, называлось «Ложные заключения». В книге «Данные» он исследовал вопрос о том, каково должно быть минимальное число заданных величин, чтобы сделать некоторую задачу определенной. Он еще до Аполлония   написал трактат о конических сечениях – наиболее полное и систематическое изложение учения об этих кривых. Он, как и другие великие греческие геометры занимался астрономией, оптикой и теорией музыки.

   «Начала»  Евклида.

   Эта книга пережила более 2-х тысячелетий, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и в самой математике. Система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. На геометрии Евклида базируется классическая механика. Последующие математики  ссылались на предложения «Начал», как на нечто окончательно установленное.

   Заметим, что идея составления «Начал»  не принадлежит самому Евклиду. Как  сообщает Прокл, и  до Евклида были сочинения  такого рода, т.е. и до него сложились определенные традиции, определенные, схемы, по которым писались книги. Но «Начала» Евклида оказались намного совершеннее своих предшественников.

   Аксиоматика.

   «Начала»  Евклида состоят из 13 книг. Каждая книга начинается с определений. Кроме того, первой книге предшествует 5 постулатов и 5 аксиом.

   Постулаты «Начал»:

1. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

   Первые  три постулата описывают простейшие построения, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки. 4-й постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. Пятый постулат – знаменитый постулат о параллельных прямых. Он обеспечивает существование точки пересечения  у 2-х прямых, удовлетворяющих сформулированным условиям. Пятый постулат  удивлял ученых сложностью своей формулировки. Уже в древности его пытались заменить другим более очевидным предложением. Так, у Прокла (V в. н.э.) встречается формулировка постулата о параллельных прямых, которая вошла во все школьные курсы.

   Предполагают, что Евклиду должны быть известны различные формы постулата о  параллельных прямых. Почему же он выбрал из них такую сложную?

   Аксиомы «Начал» описывают общие свойства равенства и неравенства величин. Все аксиомы, кроме 4-й, относятся не только к геометрическим величинам, но и к числам вообще. 4-ая аксиома – «совмещающиеся равны» является единственной, в которой говорится о возможности движения – совмещения.

   Аксиомы: 

1. «Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны.
4. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
5. И целое больше части».

   Выбор постулатов и аксиом очень удачен. Почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако постулатов и аксиом «Начал» недостаточно для дедуктивного построения геометрии. Евклид не сформулировал многого из того, чем он пользуется в дальнейшем. Так, в «Началах» нет стереометрических постулатов. За исключением 4-й аксиомы, там нет и аксиом движения. Между тем в геометрии Евклида изучаются по существу инварианты движений твердого тела.

   Влияние «Начал» на развитие математики было колоссальным. Античные математики опирались  на них при своих исследованиях  по математике и механике. В конце VIII - начале IX вв. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, в первой четверти XII в. - на латинский язык. И в странах ислама, и в Европе средних веков, «Начала» служили настольной книгой каждого серьезного математика; их многократно переписывали, переиздавали печатно, комментировали, а также перерабатывали для преподавания. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     .