Функциональный анализ

Краткий курс лекций по функциональному анализу.

Введение 4
ГЛАВА 1: ЛИНЕЙНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 5
§ 1. Некоторые сведения о конечномерных пространствах 5
§ 2. Линейные пространства 8
§ 3. Метрические пространства 10
§ 4. Сходимость 14
4.1. Замыкание множеств 14
4.2. Сходимость в метрических пространствах 14
§ 5. Открытые и замкнутые множества 16
§ 6. Полнота метрических пространств 18
§ 7. Теорема Банаха о неподвижной точке. 20
ГЛАВА 2: НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 25
§1. Линейные функционалы и выпуклые множества 25
1.1 Линейные функционалы 25
1.2 Выпуклые множества и функционалы 26
§ 2. Нормированные пространства 26
2.1 Нормированные пространства 26
2.2 Подпространства нормированных пространств 27
§ 3. Эвклидово пространство 28
§ 4. Процесс ортогонализации Шмидта 30
§ 5. Расстояние от точки до подпространства 32
§ 6. Ряды Фурье. Неравенство Бесселя 34
§ 7. Гильбертовы пространства 36
§ 8. Характеристическое свойство эвклидовых пространств 37
ГЛАВА 3: ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 39
§ 1. Определение оператора 39
§ 2. Операторы в нормированных пространствах. Предел и непрерывность 40
§ 3. Линейные операторы 40
3.1 Определение линейного оператора 40
3.2 Непрерывные линейные операторы 41
3.3 Ограниченные линейные операторы 41
3.4 Эквивалентность понятий ограниченного и непрерывного операторов 42
§ 4. Пространство линейных операторов 43
4.1 Нормированное пространство . Норма линейного оператора 43
4.2 Равномерная сходимость линейных операторов 45
4.3 Ряды в L(X,Y) 46
4.4 Пространство L(X) 46
4.5 Сильная сходимость 47
4.6 Принцип равномерной ограниченности 48
4.7 Продолжение линейного оператора по непрерывности 49
§ 5. Сопряженный и самосопряженный оператор 50
§ 6. Собственные числа и собственные векторы операторов 52
§ 7. Неотрицательные операторы 53
§8. Компактные множества в нормированных пространствах. Критерий компактности Хаусдорфа 55
§9. Вполне непрерывные операторы 57
ГЛАВА 4: ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 60
§ 1. Определение линейного функционала 60
§ 2. Теорема Хана-Банаха 61
§ 3. Сопряженное пространство 64
§ 4. Теорема Рисса 65
ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 66
ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 71
§ 1. Классификация интегральных уравнений. Теорема о разрешимости 71
§ 2. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром 73
§ 3. Интегральные уравнения Фредгольма 1 рода 74
§ 4. Применение интегральных преобразований к решению интегральных уравнений. 76
4.1 Преобразование Фурье 76
4.2 Синус и косинус преобразования Фурье 77
4.3 Преобразование Лапласа 78
Задачи 80
Ответы 94
Литература 98