Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами

Двучленные  уравнения 3-й степени  с действительными  коэффициентами

Так называются уравнения  вида: ах³ = b,

где а и b — произвольные действительные числа, отличные от нуля.

Решение таких уравнений  мы рассмотрим на некоторых частных  примерах.

Пример   1.   Решить уравнение х³ = 8.

Перепишем данное уравнение в виде х³ — 8 = 0. Используя формулу для разности кубов, получим: (х — 2) (х² + 2х + 4) = 0. Если х — 2 = 0, то  х = 2; если же х² + 2х + 4 = 0, то  х = — 1 ± √1—4 = — 1 ± √—3 = > — 1 ± √3 i. Таким образом, данное уравнение имеет три корня:

X₁  = 2;    x₂ = — 1 — √3 i  ;   x₃ = — 1 + √3 i.

Действительным среди  них является лишь один корень х₁ = 2 

Пример 2. Решить уравнение — 1/2  х³ = 4.

Умножив обе части  этого уравнения на —2, мы придем к уравнению х³ = —8. Это уравнение принципиально не отличается от ранее рассмотренного уравнения х³ = 8. Поэтому мы приводим его решение без объяснений:

Х³ + 8 = 0,

(х + 2)(х² — 2х + 4) = 0, 

X₁ = — 2; x₂ = 1 — √3 i ;  x₃ = 1 + √3 i.

Действительным среди  них является лишь один корень х₁ = — 2 

Пример 3.  Решить уравнение 1/3 х³  = — 2.

Умножив обе части  этого уравнения на 3, получим  х3 = — 6, откуда х3 + 6 = 0. Рассматривая число 6 как куб числа 3√6, разложим х3 + 6 на множители:

(х3 + 6) = (х + 3√6) [х2 — 3√6 х + (3√6)2].

Следовательно, либо х + 3√6 = 0, либо х2 — 3√6 х + (3√6)2 = 0. Первое из этих  уравнений имеет корень x1 = — 3√6.  Второе уравнение дает:

 
 

Двучленные  уравнения 4-й степени  с действительными  коэффициентами

Так называются уравнения  вида: aх⁴ = b,

где а и b — произвольные действительные числа, отличные от нуля.

Решение таких уравнений  мы тоже рассмотрим на некоторых частных  примерах. 

Пример   1.   Решить уравнение х⁴ = 16.

Перепишем данное уравнение  в  виде:  x⁴ — 16 = 0.

Левую часть этого  уравнения разложим на множители:

x⁴ — 16 = (х²— 4) (х²+ 4) = (х + 2) (х — 2) (х² + 4).

Отсюда следует, что корнями уравнения х⁴= 16 будут:

x₁ = —2,   x₂ = 2,   x₃ = 2i,   x₄ = —2i.

Действительными среди  этих корней являются лишь два корня: x₁ = —2   и x₂= 2. 

Пример    2.    Решить  уравнение х⁴ = —16.

В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна. В множестве комплексных чисел это уравнение, как мы сейчас покажем, имеет 4 различных корня.

Перепишем данное уравнение  в  виде: х⁴ + 16 = 0.

Выражение х⁴ + 16 можно рассматривать как сумму квадратов чисел х² и 4. Дополнив эту сумму до точного квадрата, получим:

x⁴ + l6 =  х⁴+16 + 2 • 4 • х²— 2 • 4 • х²  = (х²+4)2 — 8х².

Теперь используем формулу для разности квадратов двух чисел:

(х²+4)² — 8х²= (х² + 4 + √8х²  ) (х²  +4 — √8х²   ) = (х² + 2√2 х + 4) (х² — 2√2 х + 4).

Итак, х⁴ + 16 = (х² + 2√2 х + 4) (х² — 2√2 х + 4).

Поэтому уравнение  х⁴ = —16 можно представить в виде:

(х² + 2√2 х + 4) (х² — 2√2 х + 4) = 0.

Если  х² + 2√2 х + 4  = 0, то  x_1,2 = —√2 ± √2—4  ,    или

x₁ = —√2 — √2 i,

x₂ = —√2  + √2 i

если же  х² — 2√2 х + 4 = 0, то x_3,4 = √2 ± √2—4 ,  или

x₃ = √2 — √2 i,

x₄ = √2  + √2 i

Мы получили четыре корня уравнения х⁴ = —16. Среди них нет ни одного действительного корня. 

Пример 3. Решить уравнение 3х⁴ = —6. Принципиально это уравнение не отличается от предыдущего. Поэтому мы приводим его решение без объяснений:

Таким образом, данное уравнение имеет четыре различных  корня. Среди них нет ни одного действительного корня. 
 
 
 
 
 

Список используемой литературы

«Алгебра и элементарные функции», Кочетков Е.С.; Кочеткова Е.С. 1970