Древнегреческий ученый - математик Архимед

Измерение круга.    

Задача о квадратуре круга заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Большой вклад в решение этой задачи внес Архимед. В своем трактате "Измерение круга" он доказывает следующие три теоремы:  
Теорема первая: Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равняется длине окружности круга, а другой радиусу круга. 
Теорема вторая: Площадь круга относится к площади квадрата, построенного на диаметре, приблизительно, как 11:14. 
Теорема третья: C-3d < d и C-3d > d, где С -длина окружности, а d-ее диаметр. Откуда, d < C-3d < d.

Верхнюю и нижнюю границы для числа Архимед  получил путем последовательного  рассмотрения отношений периметров к диаметру правильных описанных  и вписанных в круг многоугольников, начиная с шестиугольника и кончая 96-угольником. Если приравнять верхней  границе, то получим архимедово значение (архимедово число).

Спираль Архимеда.    

Архимедова спираль  плоская трансцендентная кривая. Архимедова спираль описывается  точкой M, движущейся равномерно по прямой d, которая вращается вокруг точки O, принадлежащей этой прямой. В начальный момент движения M совпадает с центром вращения O прямой. 

Центральной темой математических работ Архимеда являются задачи на нахождение площадей поверхностей и объёмов. Решение многих задач этого типа Архимед первоначально нашёл, применяя механические соображения, по существу сводящиеся к методу «неделимых», а затем строго доказал методом исчерпывания, (Архимед использовал метод исчерпывания для приближенного значения π), который он значительно развил. Рассмотрение Архимедом двусторонних оценок погрешности при проведении интеграционных процессов позволяет считать его предшественником не только И. Ньютона и Г. Лейбница, но и Г. Римана. Архимед вычислил площадь эллипса, параболического сегмента, нашёл площадь поверхности конуса и шара, объём шара и сферического сегмента, а также различных тел вращения и их сегментов. Архимед исследовал свойства т. н. архимедовой спирали. Дал построение касательной к этой спирали, нашёл площадь её витка. Здесь он выступает как предшественник методов дифференциального исчисления. Архимед рассмотрел также одну задачу изопериметрического типа. В ходе своих исследований он нашёл сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ¹/₄, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда. При исследовании одной задачи, сводящейся к кубическому уравнению, Архимед выяснил роль характеристики, которая позже получила название дискриминанта. Архимеду принадлежит формула для определения площади треугольника через 3 его стороны (неправильно именуемая формулой Герона). Архимед дал (не вполне исчерпывающую) теорию полуправильных выпуклых многогранников (архимедовы тела). Особое значение имеет аксиома Архимеда из неравных отрезков меньший, будучи повторен достаточное число раз, превзойдёт больший. Эта аксиома определяет т. н. архимедовскую упорядоченность, которая играет важную роль в современной математике. Архимед построил счисление, позволяющее записывать и называть весьма большие числа. Он с большой точностью вычислил значение числа π и указал пределы погрешности. 
 
 
 
  Механика постоянно находилась в круге интересов Архимед в одной из своих первых работ, он исследует распределение нагрузок между опорами балки. Архимеду принадлежит определение понятия центра тяжести тела. Применяя, в частности, интеграционные методы, он нашёл положение центра тяжести различных фигур и тел. Архимед дал математический вывод законов рычага. Ему приписывают гордую фразу: «Дай мне, где стать, и я сдвину Землю». Архимед заложил основы гидростатики. Он сформулировал основные положения этой дисциплины, в том числе знаменитый закон Архимеда. Последняя работа Архимеда посвящена исследованию равновесия плавающих тел. При этом он выделяет устойчивые положения равновесия. Архимед изобрёл водоподъёмный механизм, т. н. архимедов винт который явился прообразом корабельных, а также воздушных винтов. Архимед занимался также астрономией. Он сконструировал прибор для определения видимого (углового) диаметра Солнца и нашёл значение этого угла с поразительной точностью. При этом Архимед вводил поправку на размер зрачка. Он первым стал приводить наблюдения к центру Земли. Наконец, Архимед построил небесную сферу - механический прибор, на котором можно было наблюдать движения планет, фазы Луны, солнечные и лунные затмения.

В квадратуре параболы , Архимед доказал, что площадь, ограниченная параболой и прямой линии 4/3 раза больше площади соответствующего вписанного треугольника , как показано на рисунке ниже .Он выразил решение проблемы, как бесконечные геометрической прогрессии с знаменателем 1/4:

Если первое слагаемое в этой серии является площадь треугольника, то вторая сумма  площадей двух треугольников, основания которых находятся две небольших линий секущей , и так далее. Это доказательство использует разновидность серии 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · который подводит к 1/3

В песке Reckoner , Архимед собирается подсчитать количество песчинок, что Вселенная может содержать. При этом он поставил под сомнение представление о том, что число песчинок было слишком велико, чтобы считать. Он писал: "Есть некоторые, король Гело (Гело II, сын Иероглиф II ), которые считают, что количество песка бесконечно во множестве, и я имею в виду песок не только то, что существует около Сиракуз и остальные Сицилия, а также то, что в каждом регионе ли населенный или необитаемый ". Чтобы решить эту проблему, Архимед разработал систему подсчета на основе множества . Слово происходит от греческого Murias (μυριάς), для числа 10000. Он предложил ряд системе с использованием полномочий мириады мириад (100 млн.) и пришел к выводу, что число песчинок, обязательные для заполнения вселенной будет 8 vigintillion или 8 × 10 ⁶³

Выжившие работы

Архимед, как  говорят, заметил на рычаг : Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю.

• О равновесии плоскости (два тома)

Первая книга  в пятнадцать предложений, семь постулатов , а вторая книга из десяти предложений. В этой работе Архимед объясняет закон рычага , заявив: "Величины находятся в равновесии при расстояниях взаимно пропорционально их веса".

Архимед использует принципы, вытекающие для расчета  площадей и центров тяжести различных геометрических фигур, в том числе треугольников , параллелограммов и параболы .

• На измерение окружности

Это короткое произведение, состоящее из трех предложений. Она написана в форме переписки  с Досифей из Пелусия, который  был учеником Конона Самосского . В предложении II, Архимед показывает, что значение числа π (π) больше, чем 223/71 и меньше 22/7. Последняя цифра была использована в качестве приближения π на протяжении всего средневековья и до сих пор используется, когда только грубая цифра не требуется.

• По спирали

Эта работа из 28 предложений также на имя Досифей. Трактат определяет, что сейчас называется архимедовой спиралью . Это геометрическое место точек, соответствующих местах, с течением времени точка перехода от неподвижной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Это равносильно тому, в полярных координатах (г, θ) может быть описана уравнением

с вещественными числами а и b. Это ранний пример механической кривой (кривую, движущейся точки ) рассматривается греческим математиком.

• На сферы и цилиндра (два тома)

В этом трактате на имя Досифей, Архимед получает, в результате чего он больше всего гордится, а именно отношениями между сферой и описанным цилиндром такой же высоты и диаметра . Объем 4/3 π R ³ для области, и 2 π R ³ цилиндра. Площадь составляет 4 π R ² для сферы и 6 π R ² цилиндра (в том числе две базы), где R-радиус сферы и цилиндра. Сфера имеет объем на две трети, описанного цилиндра. Кроме того, область имеет площадь двух третей цилиндра (включая основания). Сфера и цилиндр были помещены в могилу Архимеда по его просьбе.

• На Conoids и сфероидов.

Это работа в 32 предложениях на имя Досифей. В этом трактате Архимед приводит расчет площадей и объемов, разделы из конуса , сферы и параболоида.

• На плавающие тела (два тома).

В первой части  этого трактата, Архимед излагает закон равновесия жидкостей, и доказывает, что вода принимает форму шара вокруг центра тяжести. Это может быть попытка объяснить теорию современных греческих астрономов, таких как Эратосфен , что Земля круглая. Жидкости описывается Архимед не самогравитирующего, так как он предполагает наличие точки, к которым все падает для того, чтобы получить сферическую форму.

Во второй части он вычисляет положения равновесия участков параболоидов. Вероятно, это было идеализации форм корпусов судов. Закон Архимеда о плавучести дается в работе, формулируется следующим образом:

Любое тело, полностью  или частично погруженными в жидкость испытывает давление снизу вверх  равным, но противоположным по смыслу, вес жидкости перемещенных лиц.

• (O) stomachion

Это рассечение головоломка похожа на Tangram , и трактат описание был найден в более полном виде в палимпсест Архимеда . Архимед подсчитывает области из 14 частей, которые могут быть объединены, чтобы сформировать квадрат . Исследование, опубликованное доктором Reviel Netz из Стэнфордского университета в 2003 году утверждал, что Архимед пытался определить, сколькими способами части могут быть собраны в форме квадрата. Доктор Netz рассчитывает, что фигуры могут быть сделаны в квадрат 17152 способами. Ряд мероприятий составляет 536, когда решения, которые являются эквивалентными, вращения и отражения были исключены. Головоломка представляет собой пример ранних проблем в комбинаторике .

Происхождение названия головоломки неясна, и было высказано предположение, что оно взято из древнегреческого слова для горла или пищевода, stomachos (στόμαχος). Ausonius относится к головоломке, как Ostomachion, греческое слово, соединение образуется из Корни ὀστέον (остеон, кости) и (μάχη) (маше - борьба). Загадка также известен как маленькая полость Архимеда или Box Архимед ".

• Крупного рогатого скота Архимеда проблема

Эта работа была обнаружена Готхольд Эфраим Лессинг в греческой рукописи, состоящие из стихотворения из 44 строк, в библиотеки Герцога Августа в Вольфенбюттель , Германия в 1773 году. Он предназначен для Эратосфена и математики в Александрии. Архимед бросает им вызов, чтобы подсчитать количество крупного рогатого скота в стаде Солнца, решая количество одновременных диофантовых уравнений . Существует более сложный вариант задачи, в которых ответы на некоторые вопросы должны быть квадратные номера . Эта проблема была решена А. Amthor в 1880 году, и ответ на него очень   большое количество, около 7,760271 ×

× 10 ^{206 544.}

• Песок Reckoner

В этом трактате, Архимед подсчитывает число песчинок, которые будут соответствовать внутри вселенной. Эта книга упоминает о гелиоцентрической теории солнечной системы, предложенной Аристархом из Самоса , а также современные представления о размерах Земли и расстояния между различными небесными телами. С помощью системы чисел на основе полномочий множеств , Архимед приходит к выводу, что число песчинок, обязательные для заполнения Вселенная 8 × 10 ⁶³ в современных обозначениях. Reckoner Песок или Psammites является единственной сохранившейся работой, в которой Архимед обсуждает свои взгляды на астрономию.

• Метод механических теоремах

Этот трактат  считался потерянным до открытия Архимедом Палимпсест в 1906 году. В этой работе Архимед использует бесконечность , и показывает, как разбивая фигуру на бесконечное число бесконечно малых частей может быть использована бесконечность для определения ее площади или объема. Архимед, возможно, считал, что такому методу не хватает формальной строгости, поэтому он также использовал метод исчерпывания для получения результатов. Как и проблема крупного рогатого скота, метод механической теоремы было написано в форме письма к Эратосфена в Александрии .