Доказательство теоремы Кронекера-Капелли

(теорема  Кронекера-Капелли). Система (2.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство.

1. Необходимость: пусть система (2.2) совместна и ее решение.

Тогда

то есть столбец  свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы  и, следовательно, столбцов любого ее базисного  минора. Поэтому добавление элементов  этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному  минору даст нулевой определитель, то есть

2)       Достаточность: если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации  то эти числа будут решением системы (2.2), т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

(Правило  Крамера) Если в системе n линейных уравнений с n  неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Доказательство.     По теореме обратная матрица находится по формуле

где -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле  разложение определителя  по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя  по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому  , откуда и следует утверждение теоремы.

Для существования  обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство. 

1. Необходимость: так как  то (теорема 3.1), поэтому
2. Достаточность: зададим матрицу  в следующем виде:

Тогда любой элемент  произведения   (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом теорема доказанна