Дифференциальные уравнения первого порядка

.

Уравнение Ф(x,y,c₀)=0, где c₀=c(t₀), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M₀(x₀, y₀). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M₀(x₀, y₀) равен , где уравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c₀)=0, как неявное задание уравнения интегральной кривой, значение найдем из соотношения , предполагая .

Из  получаем и

 или

.

Таким образом, для произвольного значения t₀ параметра t выполняется .

Следовательно, из с учетом доказанного соотношения получаем

.

Но так  как  , ибо , то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие .

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

.

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременно и ). Окончательно убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

 

Дифференциальное  уравнение первого порядка с  разделяющимися переменными.

 

Для дифференциального уравнения  первого порядка 

 (1)

существует достаточно много методов  решений. Выбор каждого метода зависит  от вида уравнения, при этом общего метода для решения всех уравнений  первого порядка не существует.

Если уравнение можно записать в виде, разрешенном относительно производной 

, (2)

то выбор способа решения  определить несколько проще, чем  для уравнения (1).

Рассмотрим некоторые частные  виды дифференциальных уравнений первого  порядка.

К простейшему типу дифференциальных уравнений первого порядка относятся уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть дано дифференциальное уравнение  первого порядка вида (2), причем правая часть этого уравнения представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной  переменной: либо от переменной  , либо от переменной   

 (3)

При этом возможен случай, когда какая-то одна из функций   и   или обе – константы.

Запишем производную в виде    и домножим обе части уравнения (3) на  , получим 

.

Следующим шагом попытаемся разделить  переменные, то есть сделать так, чтобы  каждая часть уравнения содержала  бы функции и дифференциалы одной  и той же переменной. Этого можно  достичь путем деления обеих  частей уравнения на  : 

 (4)

Данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, которое  можно проинтегрировать, получив  тем самым общее решение (общий  интеграл) уравнения (3) 

.

Замечание 1. При делении на   мы можем потерять отдельные особые решения, обращающие функцию   в нуль. Если же в уравнении (3) функция   тождественно равна нулю, то очевидно, что решением уравнения   будет некоторая константа  .

Замечание 2. В некоторых случаях полученные интегралы не берутся в элементарных функциях, тем не менее, если существуют какие-то другие способы вычисления полученных интегралов, уравнение считается проинтегрированным.

Уравнение с разделяющимися переменными  кроме виды (3) может иметь вид 

 (5)

Привести такое уравнение к  уравнению с разделенными переменными  можно делением обеих частей равенства  на произведение  : 

Полученное равенство можно  интегрировать.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение 

Решение. Разделяем переменные и интегрируем:  

; 

; 

; 

Константу   удобнее в данном случае записать в виде  , тогда 

, 

, 

, 

 - общий интеграл решения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение 

Решение. Запишем уравнение в виде разрешенном относительно производной: 

 или  /

Разделяем переменные: 

, 

, 

, 

, 

, 

 - общий интеграл уравнения.

Решение можно записать в виде 

или  , где постоянная   может принимать и положительные и отрицательные значения,  .

 

Однородное дифференциальное уравнение  первого порядка.

 

Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид 

 (7)

Подстановка  ;  ;  , где   преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. 

, 

, 

.

Замечание. Функция   называется однородной степени  , если  , где   - некоторая константа. Например, функция    является однородной функцией степени два, поскольку

.

А функция   является однородной функцией нулевой степени однородности, так как 

.

Поэтому общий вид однородного  дифференциального уравнения часто  записывают как 

,

где   - однородная функция нулевой степени однородности.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение 

Решение. Поскольку уравнение имеет вид (2.7), то это уравнение однородное. Вводим замену  

,  ,  ,  ,

и получаем уравнение с разделяющимися переменными 

, 

,   

,   

 

 

 или  ,

учитывая знак константы  ,  .

Возвращаясь к первоначальным переменным, запишем общий интеграл уравнения  

.

 

 

 

Линейное  дифференциальное уравнение первого  порядка.

 

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение  вида y^/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что  относительно переменных y и y^/ его можно рассматривать как линейное.

Если  , то уравнение принимает простой вид y^/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла . Его общее решение тогда имеет вид .

Если  , то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает вид , и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными и далее .

Его общее  решение имеет вид  , где - некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что  , функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения.

Представим  исходное уравнение в виде

,

и подставим  в выражение, стоящее в квадратных скобках, , т.е. как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).

Общее решение  этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в  виде

,

где A – произвольная постоянная. Очевидно, является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении , т.е.

.

Если  теперь освободиться от условия фиксирования постоянной , то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

.

В нем  второй множитель функция  является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения . Первый множитель функция представляет общее решение дифференциального уравнения u^/v(x)=h(x).

Действительно, подставляя в это уравнение u^/_x(x,c), получаем тождество

.

Таким образом, показано, что общее решение линейного  дифференциального уравнения  .

 

Заключение

 

          Методы решений дифференциальных уравнений делятся на методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка (например, решение уравнения с разделяющимися переменными, линейного уравнения) и приближенные методы решений уравнений, простейшим из которых является метод Эйлера. 
          К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи не только из физики, но и из экономики, статистики и других наук. Основную трудность при решении таких задач представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующих законов и умении переводить эти задачи на математический язык. 
         Для решения таких проблем необходимо всестороннее и глубокое изучение теории дифференциальных уравнений, причем начинать следует с наиболее простого уравнения – с уравнения первого порядка.

 

 

 

Литература

 

http://ru.wikipedia.org/wiki/Обыкновенное_дифференциальное_уравнение

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR3/3-16.htm

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR3/3-15.htm

http://5ballov.qip.ru/referats/preview/20450/?referat-differentsialnyie-uravneniya-i-i-ii-poryadka

«Конспект лекций по высшей математике: полный курс»/Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.