Дифференциальные игры преследования с неполной информацией

   Если х_S^(k), k=m+1, …, 2m, то для всех х_S^(k) множество допустимых управлений тоже, что и при х_Sk, т. е. представляет собой направление скорости внутри угла, образованного инцидентными сторонами _, (Рисунок 10).

   Движение вдоль  сторон будем считать недопустимым и предположим, что множества  допустимых управлений являются замкнутыми подмножествами описанных множеств. В рассматриваемом случае траектории движения игроков проходят по информационным множествам.

   Под стратегией u(S^(k)), k=0, …, 2m, и v(S^(k)) игрока Р(Е) будем понимать отображение, ставящее в соответствие каждому информационному множеству S^(k), k=0, …, 2m, игрока Р(Е) некоторое допустимое в этом информационном множестве управлениеu(v)_Uk(V_k).

  Пусть задана ситуация (u(S^(k)),v(S^(k))). Игра протекает следующим образом. Первым ходит «случай» и выбирает точки x₀, y₀ на множестве S₀. Тогда игрок Р выбирает управление u(S⁽⁰⁾), диктуемое стратегией u(S^(k)), а игрок Е – управление v(S⁽⁰⁾), диктуемое стратегией v(S^(k)), и движение происходит в соответствии с уравнениями

  =αu(S⁽⁾),

  =βv(S⁽⁰⁾)

при начальных условиях х(0)=х₀, у(0)=у₀.

  Пусть t₁¹(t₁²) – момент времени, когда траектория х(t)(у(t)) впервые попадает из S⁽⁰⁾ в ₍₎. Тогда в момент t₁¹(t₁²) игрок Р(Е) выбирает управление u(₎₍v(₎₎, диктуемое стратегией u(S^(k))(v(S^(k))) , и придерживается его до окончания игры или до выхода из информационного множества₍₎. Движение в ₍₎ происходит согласно уравнениям

  =αu(_),

  =βv(₎

при начальных  условиях x(t₁¹),y(t₁²). Этот процесс продолжается до момента Т. В момент Т игра прекращается, и игрок Е получает выигрыш

К(x₀,y₀; u(S^(k)),v(S^(k)))=F(x(t), y(t)),

где x(t), y(t) – траектория процесса из начальных состояний x₀,y₀ в ситуации (u(S^(k)),v(S^(k))), а F – непрерывный функционал, заданный на траекториях движения игроков Р и Е. Так как начальные состояния x₀,y₀ выбираем в S₀ случайно, то игрок в начале игры может быть уверен только в получении среднего выигрыша 

где μ(S₀) - лебегова мера множества S₀.

  Под функцией выигрыша в этой игре будем  понимать среднее значение выигрыша К, т. е. функцию Е(u(S^(k)),v(S^(k))). Итак, задав множества стратегий игроков Р и Е, функцию выигрыша Е(u(S^(k)),v(S^(k))), мы определили игру преследования с неполной информацией в нормальной форме.

  Теорема1. Функция выигрыша Е() является непрерывной функцией на произведении компактных множеств РЕ.

  Учитывая  предыдущую теорему, справедлива Теорема2: игра преследования с неполной информацией, определенная в этом разделе, имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях. 
 

2.3Игра  преследования с  фиксированной продолжительностью  и задержкой информации  у обоих игроков 

  Рассмотрим  антагонистическую дифференциальную игру преследования с предписанной продолжительностью T между нарядом  преследователей Р={Р₁, …, Р_m}, действующим, как один игрок, и преследуемым Е. Уравнения движения имеют вид:

   для игроков Р_i     ⁽ⁱ⁾ = f⁽ⁱ⁾ (x,u), uU⁽ⁱ⁾ R^k , 

  для игрока Е         = g (y,v), vV R^l ,

где   x⁽ⁱ⁾ Rⁿ, yRⁿ ,  x⁽ⁱ⁾ (0) = x₀⁽ⁱ⁾ ,  y (0) = y₀. 

  На  правые части уравнений (2.7) наложены все условия, гарантирующие существование, единственность и продолжимость  на отрезок [0,T] решения из начальных состояний х₀⁽ⁱ⁾, у₀ при любой паре измеримых программных управлений u(t)={u⁽ⁱ⁾(t)},v(t).

  Заданы  числа l₁>0, l>0 (l₁>l), представляющие собой задержку поступления информации к игроку Е об игроке Р и соответственно к игроку Р от игрока Е. При 0≤t≤l игрок Р в каждый момент времени t знает свое состояние х(t)={x⁽ⁱ⁾(t)}, время t и состояние игрока Е в начальный момент y₀. При l≤t≤T игрок Р в каждый момент t знает свое состояние х(t)={x⁽ⁱ⁾(t)}, время t и состояние у(t - l) игрока Е в момент t – l. Игрок Е в каждый момент t при 0≤t≤l₁ знает время t, свое состояние y(t) и состояние х₀={x₀⁽ⁱ⁾} игрока Р в начальный момент времени. При l₁≤t≤T игрок Е в каждый момент t знает свое состояние y(t), время t и состояние x(t – l₁)={x⁽ⁱ⁾( t – l₁)} игрока Р={P_i} в момент t – l₁.

  Выигрыш игрока Е определяется как min ρ(x⁽ⁱ⁾(T), y(T)),      (2.8)

                                                                    ⁱ

где ρ(x⁽ⁱ⁾, y) – евклидово расстояние между точками x⁽ⁱ⁾, y. Обозначим таким образом игру через Г(x₀, y₀, T).

  Кусочно-программный  чистые стратегии.

  Под кусочно-программной чистой стратегией v игрока Е будем понимать пару {τ, β}, где τ – разбиение отрезка времени [0,T] конечным числом точек 0= t₁≤ …≤t_s=T и β – отображение, которое каждому состоянию x₀, y(t_k), t_k   при 0≤ t_k≤l₁  ставит в соответствие отрезок измеримого программного управления v(t) при t[ t_k, t_k+1 ), а каждому состоянию t_k, x(t_k – l₁), y(t_k) при l₁≤t_k≤T ставит в соответствие отрезок измеримого программного управления v(t) при t[ t_k, t_k+1 ).

  Под кусочно-программной чистой стратегией u игрока P будем понимать пару {σ, α}, где σ –разбиение отрезка времени [0, T]  конечным числом точек 0= t₁^'< …< t_k^'=T и α – отображение, которое каждому состоянию x(t_k^'), y₀, t_k^' при 0≤ t_k^'≤l ставит в соответствие отрезок измеримого программного управления u(t)= {u⁽ⁱ⁾(t)} при t[ t_k^', t_k+1^' ), а каждому состоянию x(t_k^'), y(t_k^'−l), t_k^' при l≤ t_k^'≤T – отрезок измеримого программного управления u(t)= {u⁽ⁱ⁾(t)}  при t[ t_k^', t_k+1^' ).

  Смешанные кусочно-программные  стратегии поведения.

  Под смешанной кусочно-программной стратегией поведения игрока v игрока Е понимаем пару {τ, с}, где τ – разбиение отрезка времени [0, T] конечным числом точек 0= t₁< …< t_s=T и с – отображение, которое каждому состоянию x₀, y(t_k), t_k при 0≤ t_k≤l ставит в соответствие вероятностную меру ν^* (зависящую от x₀, y(t_k), t_k) на множестве достижимости ^₍y(t_k )) игрока Е из состояния y(t_k ) за время t_k+1 - t_k, а каждому состоянию t_k, х(t_k - l),  y(t_k ) при l₁≤t_k≤T -  вероятностную меру ν^* (зависящую от х(t_k - l), y(t_k), t_k) на множестве достижимости ^₍y(t_k )) игрока Е из состояния y(t_k ) за время t_k+1 - t_k. Под смешанной кусочно-программной стратегией поведения μ наряда Р={P₁, …,P_m}понимаем пару {σ, d}, где σ – разбиение отрезка времени [0, T] конечным числом точек 0= t₁^'< …< t_k^'=T и d – отображение, которое каждому состоянию x(t_k^'), y₀, t_k^' при  0≤ t_k^'≤l ставит в соответствие вероятностную меру μ^* (зависящую от x(t_k^'), y₀, t_k^') на множестве достижимости

  _⁽x(t_k^'))= (x⁽ⁱ⁾( t_k^'))

  ⁱ

игрока  Р за время t_k+1^′ - t_k^′.

   Для каждой пары кусочно-программных стратегий (u,v) можно определить функцию выигрыша

  К(x₀, y₀; u,v)= min ρ(x⁽ⁱ⁾(T), y(T)),

  ⁱ

где x⁽ⁱ⁾(t), y(t) – траектории игроков, реализованные в результате применения стратегий u,v в игре Г(x₀, y₀, Т). Поскольку игра является игрой с неполной информацией, ситуации равновесия в чистых кусочно-программных стратегиях в ней может не существовать, поэтому введение смешанной кусочно-программной стратегии поведения является необходимостью. Каждая пара стратегий u,v при фиксированных начальных условиях x₀, y₀ индуцирует распределение вероятностей на множествах конечных состояний игры 

поэтому под выигрышем понимаем математическое ожидание (2.9), которое обозначаем через М(x₀, y₀, μ, ν). Под решением игры Г(x₀, y₀, Т) понимаем нахождение ситуации равновесия в классе смешанных кусочно-программных стратегий поведения.

  Движение  в ситуации в  смешанных кусочно-программных стратегий поведения μ, ν из начальных состояний х₀, у₀ строится следующим образом. Пусть μ={σ,d}, ν={τ, c}, где σ={t_k^'}, τ={t_k^'′}. В момент t₁^'′=0 игроки Р и Е реализуют меры μ^*, ν^*, диктуемые отображениями c,d в состоянии х₀, у₀, 0, и переходят в точки x⁽ⁱ⁾(t₂′)^₍x₀⁽ⁱ⁾) и y(t₂^'′)^₍y₀) , используя любые программные управления, переводящие точку x⁽ⁱ⁾(t₁′) в x⁽ⁱ⁾(t₂′) и y(t₁^'′) в y(t₂^'′) (здесь точки x⁽ⁱ⁾(t₂′) и y(t₂^'′) выбирают случайно в соответствии с вероятностными мерами μ^*, ν^*, входящими в стратегии μ, ν в качестве поведений). В состояниях x(t₂′)=(x⁽ⁱ⁾(t₂′)) и y(t₂^'′) опять реализуются вероятностные меры μ^*, ν^*, диктуемые отображениями с, d. В этих информационных состояниях игроки переходят в случайным образом выбранные точки x(t₃′)=(x⁽ⁱ⁾(t₃′)), где x(t₃′)′)^₍x⁽ⁱ⁾(t₂′)) и y(t₃^'′)^₍y(t₂^'′)) и т. д. В результате такого последовательного выбора поведения реализуются случайные траектории x(t), y(t) из начальных состояний х₀, у₀, соответствующие ситуации в смешанных кусочно-программных стратегиях поведения μ, ν. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Заключение

  Невозможно  предсказать все захватывающие  неожиданности, которые может повлечь  за собой развитие теории дифференциальных игр. На пути развития этой теории новые  затруднения, по-видимому, никогда не перестанут появляться, и поэтому  нелегко определить, до какой степени  она сейчас завершена. Теория дифференциальных игр, развивающаяся и в настоящее время, весьма далека от завершения.

  Дифференциальные  игры открывают новую интересную тематику для исследований и в  перспективе своего дальнейшего  развития приведут к решению актуальных технических задач..