Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 1. Предел функции.

Найти следующие пределы.

а)  

 

Ответ:

б)

 

Ответ:

 

Тема 2. Основы дифференциального  исчисления

Найти производные функций, заданных в явном и неявном  виде.

а) у = =

y´= (

u=

u´ = (lg(x+1))´·tg²(2x) + lg(x+1) · (tg²(2x))´=

v =

v´= 

y´=

Ответ: y´=

б)

 

 

 

y´(

y´= 

Ответ: y´=

Тема 3. Исследование функции  и построение графика.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и  построить ее график.

y =

1. Область определения функции.

 

 

x₁ = -3, x₂ = 1

Область определения  функции (-

2. Точки пересечения с осями координат.

Точка пересечения  с осью ОХ: у = 0,

Точка пересечения  с осью ОУ: х = 0, у =

Точка пересечения  графика с осями координат (0;0).

3. Четность, периодичность

Функция не является четной, нечетной, периодической.

4. Монотонность и экстремумы

=

 

 

 

 

x=0,    

 

 

Производная функции  положительна на промежутках (-∞;

На других промежутках  области определения  производная  функции отрицательна.

Следовательно: функция  возрастает на промежутках (-∞;, на других промежутках – убывает.

 

 

5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

y´´ =

y´´=0,   

 

x(

x=0,  y=0

 

D = 36² - 4·14·54=-1728<0, уравнение не имеет корней

Вторая производная  в окрестностях точки х = 0 меняет знак с «-» на «+», следовательно точка (0;0) – точка перегиба, слева от х=0 функция вогнутая, справа – выпуклая.

6. Асимптоты

Вертикальные асимптоты.

 

 

 

 

Функция имеет две  вертикальные асимптоты х = -3 и х = 1.

Наклонные асимптоты.

y = kx + b

k =

b =

 

Наклонная асимптота  y = x - 2

7. Дополнительные расчеты

Точка максимума.

х =

y =

Точка минимума.

x =

y

Тема 4. Функции двух переменных

Найти градиент функции Z в точке М.

z = 2sin(y² – x² – 3) + xy +    M(1;2)

(grad z)_M =

 

 

 

 

(grad z)_M =

Ответ: grad z)_M =

Тема 5. Неопределенный интеграл.

Вычислить неопределенные интегралы

а)

Ответ:

б)

Интегрируем по частям

u = ,      du =

dv=,   v=

+C

Ответ: +C

в)

=

 

A+B = 2

A – B = -3

A =

 

Ответ:

Тема 6. Определенный интеграл

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y=

Найдем точку пересечения  графиков.

 

 

x=1, y =

Графики пересекаются в точке (1;

S =

Ответ: S =

Вычислить объем тела, образованного  вращением фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси ОХ.

V=

V = V₁ – V_2, где V₁ – объем тела, образованного вращением графика y==, а V₂ – объем тела, образованного вращением графика y= вокруг оси ОХ.

Найдем точку пересечения  графиков:

V₁ =

V₂=

V = 99,35

Ответ: V = 99,35

Вычислить объем тела, образованного  вращением фигуры, ограниченной графиками  функций, вокруг оси ОY.

V=        

V = V₁ – V₂ – V₃, где V₁ –объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ графика x=16, V₂ –объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ графика y==, а V₃ – объем тела, образованного вращением графика y= вокруг оси ОY.

Найдем точку пересечения  графиков:

V₁ =

V₂ =

V₃ =

V=504-10

Ответ: V=504-10

Тема 8. Ряды.

Исследовать сходимость ряда.

 

Используем радикальный  признак Коши.

 

 

 

 

По признаку Коши ряд сходится.

Ответ: ряд сходится

б) Определить область сходимости ряда

 

Воспользуемся теоремой Абеля.

=

R=

Область сходимости ряда (-1;1)

Ответ: область сходимости ряда - промежуток (-1;1).