Дедекиндовы кольца

Припущення 3. Кільце (відповідно ) ототожнюється с поповненням кільця (відповідно поля ) відносно топологіі кільця, фундаментальна система околів нуля якої утворена усіма цілими ненульовими ідеалами кільця . Можна довести, що ∆() щільно в, використовуючи припущення 2.

Розглянемо тепер  мультиплікативну групу , утворену матрицями , для яких ; якщо наділити , топологією добутку, то вона индуцирует на , топологію, узгодженню із структурою групи на . Дійсно, достатньо встановити, що відображення неперервне на ; але так як матриця унімодулярна, то відомо, що елементами із є мінори матриці , тобто деякі многочлени від елементів матриці , а це і доводить наше твердження. Якщо ототожнювати з підкільцем в за допомогою відображення ∆, то група перетвориться в підгрупу в .  

Припущення 4. Група щільна в групі . Нехай -замикання групи в групі . Оскільки, щільна в , то містить всі матриці вигляду для і . Для будь-якого і будь-якого . Позначимо через обмежений адель , в якому для ; ми вже бачимо, що містить матриці при . Але відомо, що матриця вигляду де ,породжують групу . Для кожної матриці позначимо через її канонічний образ в групі. Ми бачимо, що для будь-якого містить всі матриці, для яких при будь-якому. Оскільки є групою, то в ній міститься також і всі такі матриці , що для всіх, окрім скінченого числа, ідеалів; але означення топології на показує, що множина цих матриць щільна в .

4. ПОДАЛЬШІ ВЛАСТИВОСТІ ДЕДЕКІНДОВИХ ОБЛАСТЕЙ

Теорема 1

Дедекіндова область з скінченим числом власних простих ідеалів є областю головних ідеалів.

Доведення

Достатньо показати, що кожний - головний, а для цього ми повинні лише показати , що існує елемент в , такий, що і для , так як в цьому випадку розклад на прості ідеали може бути тільки. Оскільки - нетерова область, то , згідно з цим існує елемент , що не лежить в . В якості елемента ми можемо взяти розв’язок системи порівнянь ,   . Так як ідеали , попарно комаксимальні , ця система має розв’язок .

Наслідок 1

В дедекіндовій області кожний власний ідеал має базис, що складається з двох елементів.

Виберемо ненульовий елемент  в. Оскільки - кільце головних ідеалів, то ідеал - головний. Нехай - елемент з класу , клас віднімання якого по модулю породжує . Очевидно, що тоді -базис

Китайська теорема  про залишки

Дедекіндова  область має наступну властивість:

(КТЗ)  Для даного скінченного числа ідеалів та елементів області система порівнянь має розвязок в тоді і тільки тоді, коли для .

Доведення

Властивість КТЗ пов’язана  з дистрибутивністю операцій і відносно одна одної в множині ідеалів дедекіндової області ; якщо дано три ідеали , то 

.

 у випадку дедекіндової області ці співвідношення дистрибутивності легко перевіряються використанням теореми 2: вони еквівалентні рівностям 
 
 
 

;ці співвідношення  в свою чергу прямо слідують  із того, що в множині звичайних  цілих чисел кожна операція  min і max дистрибутивна відносно іншої – факт, перевіряється безпосередньо. Якщо це дійсно так. То доведення теореми 2 випливає з наступної теореми:

Теорема 3  
Для даного кільця властивість КЗТ еквівалентна дистрибутивності кожної з операцій і відносно іншої в множині всіх ідеалів кільця .

Доведення

Зауважимо, що в КЗТ  частина «тільки тоді », очевидно справедлива в будь-якому кільці ; тому ми будемо ігнорувати її , що не відноситься до доведення. Розглянемо спочатку випадок . Якщо , то ; . Ми можемо тоді взяти в якості розв’язку порівнянь , .Таким чином, (КЗТ) має місце при . Доведемо тепер, що умови дистрибутивності  ведуть (КЗТ) для будь-якого числа порівнянь. Використовуючи індукцію по , ми повинні лише проконтролювати крок від – до . Нам потрібно вирішити порівнянь ,таких, що , знаючи, що будь-яка система з попарно сумісних порівнянь  має розв’язок. Ми знаємо рішення системи перших порівнянь:. Тоді дана система порівнянь еквівалентна , ; іншими словами , вона еквівалентна системі з двох порівнянь , . Як доведено раніше, ця система має розв’язок , якщо . Припустимо, що закон дистрибутивності  

має місце для ідеалів  з . Тоді наша умова разрешимости може бути  записана наступним чином

,

а ця умова дійсно виконується , оскільки і за припущенням ,. Умова разрешимости, таким чином, виконується. І дана система порівнянь має рішення. Тому закон дистрибутивності (Д) веде за собою виконання (КЗТ).

   Навпаки, доведемо, що обидва закони дистрибутивності  слідують із справедливості (КЗТ)  для . Що стосується (Д) то ліва частина, очевидно, міститься в правій,і звідси достатньо довести, що будь-який елемент з належить . За припущенням ; з , з , з . Тепере ми спробуємо записати у вигляді , де лежить в , а – в . Це еквівалентно тому, щоб знайти такий елемент в , що , тобто знайти рішення трьох порівнянь ; ; .   Оскільки , то ці порівняння попарно сумісні , і рішення існує за (КЗТ). Тому (Д₁) доведено.

   Із того, що  доведено вище, ми безпосередньо  заключаємо, що (КЗТ) має місце  для будь-якого . для доведення другого закону дистрибутивності

   (Д₂)

 , зауважимо знову, що права сторона міститься в лівій, і, таким чином, достатньо довести, що будь-який елемент з є елементом з . Запис у вигляді , , еквівалентна розвязку системи чотирьох порівнянь ; ; . Оскільки шість умов сумісності , виконуються, система має по (КЗТ) рішення.   

5. ПРИКЛАДИ

1. Область головних ідеалів є дедекіндовою областю.
2. Кільце частки дедекіндової області по відношенню до мультиплікативної системи є дедекіндовою областю. Дійсно, кожний ідеал в - розширений ідеал ; оскільки , то ,і ідеали - або прості ідеали, або дорівнюють .
3. Якщо - дедекіндова область і - скінчене алгебраїчне розширення її поля часних, то ціле замикання в - також дедекіндова область. Зокрема,оскільки кільце цілих раціональних чисел і кільце поліномів від однієї змінної є дедекіндовими областями, то кільце цілих алгебраїчних чисел і кільце цілих функцій поля алгебраїчних функцій від однієї змінної – також дедекіндові області.