Что такое прикладная математика

2. Основные элементы  прикладной математики.

2.1. Математические модели. Исследование прикладных задач обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта. Однако в дальнейшем часто возникает необходимость уточнить модель, сделать её соответствие объекту более полным. Это может быть обусловлено разными причинами: требованием более высокой точности, появление новой информации об объекте, которую нужно отразить  в математической модели, расширением диапазона параметров, выводящим за пределы применимости исходной модели, и так далее. При построении новой модели полезно максимально полно использовать опыт и результаты, полученные на первом этапе. Часто процесс последовательного развития и уточнения модели повторяется неоднократно. В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Остановимся на общей теории моделирования.  Методологическая основа моделирования заключается в следующем. Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objectum – предмет). Выработка методологии направлена на упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.  В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, то есть определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка гипотез может быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и проверки правильности гипотез большое значение в качестве метода суждений имеет аналогия.  Аналогией называют суждение, о каком либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что понятия существенности и несущественности сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом.  Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводится к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами модель (лат. modulus - мера) – это объект заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.  Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. И.Т. Фролов отмечал, что “моделирование означает материальное или мысленное имитирование реально существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы”. Здесь в основе мысль, что модель средство познания, главный ее признак - отображение. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования. Понятие математического моделирования как методологии научных исследований Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств.  Как методология научных исследований математическое моделирование сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики и системного программирования для решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы – сквозной единый цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей эффективности объекта. Результатом разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной системы в различных условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей эффективности объекта. Поэтому математическое моделирование как методология организации научной экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных решений. (В первую очередь это относится к моделированию экономических систем).  По своей сути математическое моделирование есть метод решения новых сложных проблем, поэтому исследования по математическому моделированию должны быть опережающими. Следует заранее разрабатывать новые методы, готовить кадры, умеющие со знанием дела применять эти методы для решения новых практических задач.  Математическая модель может возникнуть тремя путями: В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими. В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой общей модели. Такие модели называются асимптотическими. В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей. Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает качественные основные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным. Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики. Схема построения математических моделей следующая: - Выделение параметра или функции, подлежащей исследованию.

- Выбор закона, которому подчиняется эта величина. - Выбор области, в которой требуется  изучить данное явление. 

2.2. Классификация математических  моделей. Существуют всевозможные классификации математических моделей. Выделяют линейные и нелинейные модели, стационарные и динамические, модели, описываемые алгебраическими, интегральными и дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных. Можно выделять классы детерминируемых моделей, вся информация в которых является полностью определяемой, и стохастических моделей, то есть зависящих от случайных величин и функций. Так же математические модели различают по применению к различным отраслям науки.  Рассмотрим следующую классификацию математических моделей. Все математические модели разобьем условно на четыре группы. I. Модели прогноза или расчетные модели без управления. Их можно разделить на стационарные и динамические. Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими. Как правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики. II. Оптимизационные модели. Их так же разбивают на стационарные и динамические. Стационарные модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др. В задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой. Второе направление относится к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками. Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач. В математическом программировании выделяются следующие основные разделы: - Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. - Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения. - Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача. - Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные равенства и неравенства. - Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными. - Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности. Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных. Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами. Различают три вида математических моделей теории оптимального управления. К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.  III. Кибернетические модели. Этот тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций. Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами. IV. Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализированы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего “биологического” звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Понятие алгоритма.

 Построение  модели рассматриваемого объекта  позволяет поставить задачу его  изучения как математическую. После этого наступает второй этап исследования – поиск метода решения сформулированной математической задачи. Следует иметь в виду, что в прикладных работах нас, как правило, интересуют количественные значения искомых величин, то есть ответ должен быть доведён “до числа”. Все расчеты проводятся с числами, записанными в виде конечных десятичных дробей, поэтому результаты вычислений всегда носят приближенный характер. Стало быть, важно добиться того, чтобы ошибки укладывались в рамки требуемой точности. В большинстве задач, с которыми мы встречались до этого в математике, ответ давался в виде формулы. Формула определяла последовательность математических операций, которую нужно выполнить для вычисления искомой величины. Например, формула корней квадратного уравнения позволяет найти их по значениям коэффициентов этого уравнения, формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Для решения математической задачи важно указать систему правил, которая задает строго определенную последовательность математических операций, приводящих к искомому ответу. Такую систему правил называют алгоритмом. Понятие алгоритма в его общем виде относится к числу основных понятий математики. В простейшем случае последовательность математических операций, с помощью которых можно вычислить искомые величины, определяется формулами. Так, формула Герона является алгоритмом вычисления площади треугольника по его сторонам.

Алгоритмы решения  многих математических задач, для которых  не удается получить ответ в виде формулы, основаны на следующей процедуре: строится бесконечный процесс, сходящийся к искомому решению. Он обрывается на некотором шаге(вычисления нельзя продолжать бесконечно), и полученная таким образом величина приближенно принимается за решение рассматриваемой задачи. Проблема применения алгоритмов, использующих бесконечный сходящийся процесс,- не в приближенном характере дело, а в большом объёме необходимых вычислений. Не случайно такие алгоритмы принято называть вычислительными алгоритмами, а основанные на них методы решения  математических задач - численными методами. Широкое применение вычислительных алгоритмов стало возможным благодаря ЭВМ. До их появления численные методы использовались редко и только в сравнительно простых случаях в силу чрезвычайной трудоёмкости вычислений вручную. В заключение сделаю несколько замечаний общего характера: 1) При разработке  вычислительных алгоритмов особенное внимание уделяется тому, чтобы они были удобны для машинного счета. 2) Опыт показывает, что гораздо выгоднее развивать универсальные алгоритмы для решения широкого класса типичных математических задач, чем строить частные алгоритмы для решения каждой задачи в отдельности. 3) Изучение объектов самой различной природы часто приводит к одним и тем же математическим задачам. Поэтому имеется благоприятная возможность выделить задачи, которые часто встречаются в приложениях, изучить их особенности, разработать эффективные алгоритмы и реализовать эти алгоритмы в виде стандартных программ для ЭВМ.  
 

Заключение.

Ёще Галилеем было сказано, что книга природы написано на языке математики. Развивая эту мысль, Н. Бор писал: “Чистая математика является не отдельной областью знания, а скорее усовершенствованием общего языка, оснащением его удобными средствами для отображения таких зависимостей, для которых обычные словесные выражения оказались бы неточными”.            Математику следует назвать не языком науки, а скорее грамматикой (и поэтикой) этого языка - дисциплиной, изучающей правила обращения со своеобразным языком, словами которого являются символы, фразами - формулы, а литературным произведением – научные теории. В  человечестве наряду со способностью к конкретному (образному) мышлению заложена способность (и потребность) к абстрактному мышлению, и математика является наивысшей формой удовлетворения данной потребности, что и придает ей самостоятельную, независимую от каких-либо практических приложений ценность, аналогичную, например, ценности музыки. Это понимали уже древние греки, и, вероятно, именно это имел в виду Дьедоне, сказав: ”Математика – не более чем роскошь, которую может себе позволить цивилизация”. Если “чистый” математик категорически исключает возможность привлечения к рассуждениям и доказательствам аргументации нематематического характера, то прикладной математик считает допустимым пользоваться для достижения любыми средствами, принимая во внимание весь накопленный практический опыт. Из сказанного следует, что особой науки “прикладная математика” нет, а прикладные математики, тем не менее, существуют. Это специалисты, использующие достижения математики в нематематических целях, допуская для обоснования своих действий привлечение нематематических средств.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы.

1. Мышкис А.Д. Что такое прикладная математика? Вестник высшей школы, 1967,     №2

2. Налимов В.В.  Логические основания прикладной  математики. - М.: Издательство МГУ, 1979

3. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: логика, особенности подходов. – Киев: Наукова думка, 1976

4. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции  по прикладной математике. – М.: Наука, 1984 5. Математика наших дней. – М.: Знание, 1976 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ: