Численые методы

Приближение функций

Вариант №17

Задача 7.1

Заданы функция  и отрезок . Приблизить интерполяционными многочленами Лагранжа при равномерном и чебышевском распределении узлов интерполяции. Сравнить результаты.

Исходные  данные

 

 

Равномерное распределение узлов

Составим  интерполяционный многочлен Лагранжа и найдём приближение при равномерном  распределении n узлов.

 

 

 

 

 

 

 

Отметим на графике  значения исходной функции и приближенные значения в 3n точках отрезка .

 

 

 

 

Чебышевское распределение узлов

Найдём приближение  в форме интерполяционными многочленами Лагранжа при чебышевском распределении n узлов.

, ;

 

 

 

 

 

 

Для сравнения постоим графики исходной функции и приближающих интерполяционных многочленов с равномерным и  чебышевским распределением узлов.

 

 

 

Вычислим  практическую величину погрешностей в 3n точках отрезка

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим погрешность  приближения для каждого случая по формуле:  

 

 

Сравнивая графики погрешностей равномерного и чебышевского распределений можно  сделать вывод, что чебышевское  распределение позволяет более  точно приблизить функцию к исходной. Погрешность приближения при  чебышевском распределении оказалась  меньше, чем в случае равномерного распределения.

Построим  интерполяционный многочлен по 2n узлам интерполяции и сравним результаты

Равномерное распределение

Чебышевское распределение:

 

Совместим графики приближающих интерполяционных многочленов:

 

Вычислим практическую величину погрешностей в 3n точках отрезка .

Оценим погрешность приближения  для каждого случая:

 

 

Сравним качество приближений функции при  разном количестве узлов:

Равномерное распределение

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебышевское распределение

 

 

 

Вывод:

При чебышевском распределении погрешность  приближения меньше, чем при равномерном. На погрешность также оказывает  влияние количество узлов интерполяции, по которым строится интерполяционный многочлен. Чем больше количество узлов, тем меньше погрешность приближения.

Задание 7.2

Заданы  функция  и отрезок . Приблизить методом глобальной интерполяции и естественным кубическим сплайном. Сравнить результаты.

Исходные  данные

 

Метод глобальной интерполяции

Воспользуемся составленной программой для построения интерполяционного многочлена Лагранжа и найдём приближение функции  методом глобальной интерполяции.

 

 

Естественный  кубический сплайн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На  одном чертеже построим графики  интерполяционного многочлена, кубического  сплайна и исходную функцию.

Вычислим практическую величину погрешностей в 3n точках отрезка для интерполяционного многочлена и кубического сплайна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим  погрешность приближения для  каждого случая.

 

 

 

 

Сравнивая графики погрешностей для интерполяционного  многочлена и кубического сплайна  можно сделать вывод, что метод  глобальный интерполяции позволяет  более точно приблизить функцию  к исходной. Погрешность приближения для интерполяционного многочлена оказалась меньше, чем для кубического сплайна.

Построим  интерполяционный многочлен и кубический сплайн по 2n узлам интерполяции и сравним результаты

Интерполяционный  многочлен:

 

Естественный  кубический сплайн:

 

Совместим графики интерполяционного многочлена, кубического сплайна и исходную функцию:

 

Вычислим  практическую величину погрешностей в 3n точках отрезка для интерполяционного многочлена и кубического сплайна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим  погрешность приближения для  каждого случая:

 

Сравним качество приближений функции при разном количестве узлов.

Вывод:

Для интерполяционного  многочлена погрешность приближения  меньше, чем для кубического сплайна. На погрешность также оказывает влияние количество узлов интерполяции, по которым строится естественный кубический сплайн. Чем больше количество узлов, тем меньше погрешность приближения.