Численное решение уравнений теплопроводности методом разностных схем

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

Филиал  федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего  профессионального  образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» в г. Набережные Челны. 

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ  
И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ 

Специальность: 010501.65 – Прикладная математика и информатика

КУРСОВАЯ  РАБОТА

IX СЕМЕСТР

ТЕМА: «Решение нелинейных уравнений переноса тепла методом разностных схем»

 

Дисциплина: численные методы

 

      Выполнил

      студент Токмаков А.М.

      группа 4606 курс 5

      Научный руководитель

      Марданшин Р. Г.

      к. ф.–м. н., доцент 

      Члены комиссии по защите курсовой работы

                                                          _________________________________________

                                                                       ^{Ф.И.О.                                                              подпись}

                                                          _________________________________________

                                                                       ^{Ф.И.О.                                                               подпись}

                                                          _________________________________________

                                                                                                                              ^{Ф.И.О.                                                               подпись} 

 

                                                                                                               Оценка________________ 

                                                                                                Дата    ________________  
 

Набережные  Челны

2010

 

 
       Оглавление

 

 

Аннотация

      В работе сначала приводятся  основные понятия и математическое  толкование разностной схемы  для нелинейных уравнений переноса тепла вида , далее приводятся разработанные в ходе исследований методы. В третьем разделе описываются работы методов и выявляются результаты. Далее делается вывод о целесообразности применении тех или иных схем и листинги разработанных методов.

 

Введение

    Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания, как иногда говорят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создание специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач. Названия некоторых из таких методов – методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова – свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.

    Настоящее время характерно резким расширением  приложений математики, во многим связанным  с созданием и развитием средств  вычислительной техники. В результате появления ЭВМ (электронно-вычислительных  машин, или как часто говорят, компьютеров) с программным управлением менее чем за 50 лет скорость выполнения арифметических операций возросла от 0.1 операции в секунду при ручном расчете до 10¹² операций на современных серийных ЭВМ, т.е. примерно в 10¹³ раз.

    В настоящее время разработка методов и алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута настолько, что зачастую исследователь, имеющий дело с этой задачей, не занимается выбором метода ее решении, а просто обращается к стандартной программе.

    В случае с уравнений с частными производными число принципиально  различных постановок задач существенно  больше. В курсе уравнений с  частными производными обычно рассматривается  незначительная часть таких постановок, главным образом связанных с  постоянными коэффициентами. При этом существует очень малое количество задач, решаемых в явном виде. Многообразие постановок в теории уравнений с частными производными  связано с многообразием окружающего нас мира.[1]

      Цель работы: разработать разностные схемы, позволяющие решать задачу нелинейные уравнения переноса тепла. В качестве среды разработки был выбран пакет matlab 6.5. 

 

1. Математическое  описание основных понятий и разностных схем

    В данном разделе дается математическое толкование работы основных функций и процедур библиотеки.

    Рассмотрим  сначала некоторые необходимые  понятия из теории сеток:

Пусть имеется пространство , где - функция непрерывного аргумента . На отрезке введем конечное множество точек , которое назовем сеткой. Точки , будем называть узлами сетки . Множество без узлов и будем обозначать . Если расстояние между соседними узлами постоянно (не зависит от i), для всех , то сетку называют равномерной (с шагом h), в противном случае – неравномерной. Вместо функции , определенной для всех  , будем рассматривать сеточную функцию , целочисленного аргумента или узла сетки , а заменим конечномерным (размерностью N+1) пространством сеточных функций. Очевидно, что сеточную функцию можно рассматривать как вектор [1].

    Можно также провести дискретизацию и  пространства функций  многих переменных, когда - точка p-мерного евклидова пространства (p>1). Так на плоскости можно ввести сетку , как множество точек (узлов) пересечения перпендикулярных прямых , , , где - шаги сетки по направлениям и соответственно. Сетка , очевидно равномерна по каждому из переменных в отдельности. Вместо функции будем рассматривать сеточную функцию

    

 
 
 

    Рассмотрим  первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности в следующем виде [3]:

  (1)

,  ,

,

, .

в области  . Требуется найти непрерывное в решение .

Разностные  схемы [3]

В области  введем сетку

Заменяем  производную по t разностными выражением [2]

с шагом  по t. Дифференциальное выражение при каждом фиксированном t  аппроксимируем следующим образом [4]. Сначала берем левостороннюю разностную аппроксимацию производной по x, а после правостороннюю.

(2)

В граничных  условиях заменяем непрерывную функцию дискретной:

, , , , где разностный коэффициент теплопроводности должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации , наиболее употребительно следующее выражение: .

В случае нелинейных уравнений, когда заранее  неизвестны пределы изменения функции  избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная линейная схема относительно , , имеет вид

(3)

Эта схема  абсолютно устойчива и имеет  первый порядок аппроксимации по и второй – по  , решение находится методом прогонки. Перепишем (3) в другом виде

(4)

Для реализации этой схемы необходимо применить  тот или иной итерационный метод. Например такой:

(5)

Здесь s – номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а качестве начального приближения для выбирается . Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг . Число итераций M задается из соображения точности. В задачах с гладкими коэффициентами при часто бывает достаточно провести две - три итерации. Значения на новой итерации находятся методом прогонки. При M=1 итерационный метод (5) совпадает с разностной схемой (4).

    Для приближенного решения нелинейной схемы (4) применяются также схемы  предиктор-корректор второго порядка  точности , аналогичные методу Рунге-Кутта  для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя k на k+1 осуществляется в два этапа. На первом этапе решается линейная неявная система уравнений

    

из которой  находятся промежуточные значения  , Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема уравнения (1) , в которой нелинейные коэффициенты вычисляются при , т.е. схема

 

    

 

 

    

2. Библиотека  функций, разработки

    В работе разработаны следующие функции для решения неоднородного одномерного уравнения теплопроводности:

1. TeploProvodNotLine1(X,N,T,K,k_U,f_U,U0,U1,U2) – находит приближенное решение поставленной задачи при помощи линейной неявной схемы.
2. TeploProvodNotLine(X,N,T,K,k_U,f_U,U0,U1,U2) – находит приближенное решение поставленной задачи при помощи схемы предиктор-корректор.
3. TeploProvodNotLine2(X,N,T,K,k_U,f_U,U0,U1,U2,E) – находит приближенное решение поставленной задачи при помощи нелинейной неявной схемы

где X – длина стержня, N – количество узлов сетки, по пространственной переменной, T - время, K – число узлов по времени, k_U – функция нелинейности, f_U – функция источника, U0 – начальное распределение температуры, U1 – первое граничное условие, U2 – второе граничное условие, E – точность вычислений.

    Функции k_U. f_U, U0, U1, U2 задаются в виде указателей на m-файлы. Для обеспечения универсальности.

    Каждая  функция возвращает массивы, составляющие сетку: и и значения сеточной функции .

    Методы  объединяет экранная форма, написанная в среде matlab 6.5 [6]:

    

    На  ней присутствуют следующие элементы:

1. Три радио-кнопки, позволяющие выбрать один из разработанных трех методов.
2. Параметры задачи (длинна стержня, время, количество узлов сетки по пространственной координате, количество узлов по времени, k_U -функция нелинейности, f_U – функция источника, U0 – начальное распределение температуры в стержне, U1,U2 – граничные условия первого рода, точность (используется для нелинейной неявной схемы)).
3. Кнопка «Считать», обработка события нажатия которой осуществляет вычисления и выводит график поверхности распределения температуры.