Числа первого десятка

На этих же уроках ученики знакомятся с учебником и тетрадью по арифметике, с цифровой кассой и наборным полотном, выполняют подготовительные упражнения к письму цифр, а вместе с тем усваивают правила поведения, которые создают возможность коллективной работы в классе (как сидеть за партой, как отвечать и спрашивать, как входить и выходить из класса и т.д. Все эти навыки имеют большое воспитательное значение.

Основные  задачи учителя при изучении первого десятка состоят в следующем:

1. научить детей сознательно считать и правильно обозначать цифрами первые десять чисел, 
2. обеспечить понимание структуры натурального ряда, 
3. сформировать у детей четкие числовые представления в пределах первого десятка.

Изучение  этого концентра, как и других, начинается с нумерации.

Большинство учителей, следуя за учебником, рассматривают устную и письменную нумерацию совместно. Каждое число изучается при этом в отдельности. Сюда включаются такие моменты:

1. Образование числа путем присоединения единицы к предыдущему числу.
2. Восприятие и представление естественных групп предметов, которые характеризуются данным числом.
3. Счет предметов и называние чисел в прямом и обратном порядке с целью запоминания количественных и порядковых отношений чисел в натуральном ряду.
4. Рассмотрение состава данного числа из меньших чисел на наглядных пособиях с целью иллюстрации количественного значения числа. 
5. Знакомство с печатной и письменной цифрой.

Общепринято знакомить детей с письмом  цифр в порядке следования чисел  натурального ряда. Обычно на уроке  записывают одну две строчки новой  цифры и в качестве повторения — несколько ранее пройденных цифр (запиши число, которое больше на один, чем три; запиши число, которое называем при счете перед числом пять, и т. п.). После знакомства со знаком действий записываются примеры вида п + 1 (при письме цифры 7: 6+1= 7 и 7 — 1 = 6).

Такая система  обеспечивает четкую последовательность в работе и постепенность введения детей в область чисел. С помощью  разнообразных упражнений, рекомендуемых  для изучения нумерации, реализуются  такие дидактические принципы, как наглядность, доступность и сознательность обучения.

Требуется, однако, уточнить и детализировать данную систему, поскольку в практике школы можно столкнуться с  неверным пониманием отдельных ее положений. Так, некоторые учителя уделяют  мало внимания изучению структуры натурального ряда, ограничиваясь рассмотрением только порядковых отношений (какое число следует за данным, какое предшествует ему); не выясняют количественных отношений последовательных чисел (какое число больше, какое меньше данного и как получить число, которое больше или меньше данного на единицу). Рассматривают только образование данного числа из предыдущего путем прибавления единицы, но не показывают получение каждого натурального числа из следующего путем вычитания единицы, что позднее отрицательно влияет на усвоение вычитания.

Иногда изучение нумерации чисел затягивается надолго, так как отводится слишком много времени на изучение состава чисел в целях запоминания детьми всех пар слагаемых, дающих в сумме то или иное число в пределах десяти. Но поскольку сложение еще не рассматривалось, детям приходится запоминать состав чисел, опираясь только на зрительное восприятие различной группировки предметов, что достигается большим трудом.

В методической литературе имеются и другие варианты изучения нумерации чисел первого десятка. Так, по системе Н. С. Поповой первый пяток изучается несколько иначе, чем второй. Наряду с нумерацией чисел 1 — 5 рассматриваются все случаи сложения в этих пределах (действие выполняется на предметах, результат находится пересчитыванием). Попутно усваивается и состав этих чисел из слагаемых. Соответствующие случаи вычитания рассматриваются после изучения нумерации и сложения в пределах первого пятка и выполняются на основе знания состава числа.

При изучении нумерации чисел 6 - 10 рассматриваются только случаи п ± 1, непосредственно вытекающие из счета, и запоминается состав числа из предыдущего и единицы. Состав чисел из других слагаемых на данном этапе не рассматривается.

Надо отметить, что методика изучения нумерации чисел первого десятка в этом случае строится с учетом знаний, имеющихся у детей при поступлении в школу, чем объясняется выделение первого пятка и особый порядок его изучения.

Принимая  во внимание различные варианты изучения нумерации чисел в пределах десяти, наметим наиболее целесообразную, на наш взгляд, систему работы над этим разделом.

Известно, что  счет в пределах первого десятка  первоклассников не затрудняет. Сложнее  обстоит дело с письмом цифр. Вот  почему устную и письменную нумерацию  в пределах десяти лучше изучать раздельно.

На первом этапе, как выяснилось в процессе неоднократной проверки, целесообразно изучать не каждое число в отдельности, а несколько последовательных чисел одновременно. В этом случае создаются благоприятные условия для отработки навыков счета, изучения структуры натурального ряда и запоминания печатных цифр. Например, рассматриваются сразу три числа: 1, 2, 3. Дети упражняются в .счете отдельных предметов и групп предметов (пар, троек), а также считают мерки при измерении одной из величин — длины (шаги, метры). С помощью предметов создаются числовые лесенки (1, 2, 3...), которые наглядно иллюстрируют способ образования последующих чисел из предыдущих (рис. 28). Устанавливается, какое из двух соседних чисел больше (меньше) и на сколько. Количественные отношения соседних чисел определяют порядок их называния при счете: единица меньше двух; поэтому при счете сначала называют число 1, а потом число 2 и т. д.

На втором этапе дети учатся писать цифры от 1 до 9 по порядку. Эта работа облегчается предшествующими упражнениями, в процессе которых формируются соответствующие числовые представления, вырабатываются навыки узнавания и называния печатных цифр, а также некоторые навыки письма в результате рисования бордюров, елочек, элементов цифр.

рис. 28 

Такой порядок изучения нумерации не только учитывает уровень подготовки детей к обучению арифметике, но и позволяет наилучшим образом решить стоящие перед учителем задачи, в частности обеспечить образовательную цель обучения. Дети усваивают ряд математических фактов (общий принцип образования чисел натурального ряда, связь между понятиями прибавить и больше, отнять и меньшей д,р.), что создает основу для выполнения в дальнейшем сложения и вычитания приемом присчитывания и отсчитывания.

В процессе работы над данным разделом учитель  должен

1. обеспечить понимание учениками конкретного смысла каждого арифметического действия, 
2. научить их находить результаты действий при помощи вычислений и
3. добиться усвоения детьми наизусть таблицы сложения.

Большинство методистов рекомендуют изучать  каждый табличный ряд по такому примерно плану:

1. Разъяснение вычислительного приема.
2. Упражнения в вычислениях (решение примеров и задач).
3. Составление соответствующих таблиц и усвоение их.

Рассмотрение  каждого следующего табличного ряда предполагает твердое знание результатов  предыдущего ряда. Таким образом, прежде чем приступить к изучению ряда п ± 3, дети должны хорошо усвоить  случаи п ± 2, чтобы прибавлять и  отнимать тройку не только по одному, к чему они склонны, но и группами: п ± (2 + 1), п ± (1 + 2). Умение быстро прибавлять и отнимать двойку требуется и для изучения ряда п ± 4.

Однако присчитывание  и отсчитывание не могут служить  универсальным приемом для всех случаев сложения и вычитания в пределах первого десятка. Уже при изучении случаев п ± 5 применение его становится нецелесообразным (2 + 5, б — 5 и т. п.). Возникает вопрос, когда и как познакомить учеников с более рациональными вычислительными приемами — научить пользоваться при сложении перестановкой слагаемых, а при вычитании — опорой на соответствующие случаи сложения.

В методической литературе вопрос о переходе к новым вычислительным приемам решается по-разному.

В учебнике арифметики для I класса сохранен прием так называемого последовательного сложения и вычитания для всех случаев в пределах десяти. Однако в этом учебнике наряду с присчитыванием и отсчитыванием вводится прием перестановки слагаемых и прием нахождения результата вычитания на основе знания состава, уменьшаемого. Но при этом перестановка слагаемых выступает не как общее свойство суммы, а лишь как средство, облегчающее в некоторых случаях нахождение результата сложения (легче к большему числу прибавить меньшее, чем наоборот). И вычитание на основе знания состава числа рассматривается только как удобный в некоторых случаях вычислительный прием. Зависимость между суммой и слагаемыми при этом не раскрывается. Таким образом, данная система не формирует главнейших понятий, относящихся к действиям первой ступени.

Другие методисты  рекомендуют отказаться от приемов  присчитывания и отсчитывания второго  компонента, начиная со случаев n ± 5. В целях сознательного усвоения новых вычислительных приемов возникает  необходимость углубить понимание  арифметических действий первой ступени. Знакомство с переместительным законом сложения помогает детям осмыслить сложение как объединение равноправных слагаемых. Наряду с этим раскрытие связи между суммой и слагаемыми дает возможность рассматривать вычитание как действие, обратное сложению. На этой основе можно ввести новые вычислительные приемы: использовать перестановку слагаемых в тех случаях, когда это облегчает вычисления (числа при сложении переставлять всегда можно, но не всегда нужно); находить результат вычитания на основе соответствующих случаев сложения и понимания зависимости между суммой и слагаемыми (если от суммы отнять одно из слагаемых, то останется другое слагаемое).

Изучение  сложения и вычитания на этом этапе  можно организовать по-разному: одновременно рассматривать оба действия, как и на предыдущем этапе: n ± 5, n ± 6 и т. д., или последовательно сначала рассмотреть все случаи сложения (п + 5 и т. д. до п + 9), затем соответствующие случаи вычитания.

В том и  другом случае работа включает следующие моменты:

1. сложение с использованием перестановки чисел, 
2. усвоение состава чисел и зависимости между суммой и слагаемыми, 
3. вычитание на основе знания состава числа и понимания связи между сложением и вычитанием.

Опора на конкретные факты имеет, в частности, и воспитательное значение, так как приучает детей  видеть в математике ее жизненно практическую основу.

Однако наглядный характер обучения не должен тормозить развития отвлеченного мышления детей. Накопленные учениками наблюдения необходимо своевременно обобщать: «3 палочки больше двух палочек на 1 палочку; 3 кружка больше двух кружков на 1 кружок; 3 метра больше двух метров на 1 метр; значит, вообще число 3 больше числа 2 на 1 единицу» и т. п. Так начинает осуществляться в доступной для детей форме процесс абстрагирования.

Для того чтобы  успешно проходило изучение первого  десятка, следует обеспечить детей  достаточным количеством наглядных  пособий.

рис. 33   

рис. 33  

рис. 34 

При подготовке к учебному году надо позаботиться о том, чтобы в I классе было наборное полотно (рис. 29), счетный материал, такие  наглядные пособия, как счеты (рис. 30), картинки (рис. 31—33) и индивидуальные комплекты дидактического материала на каждого ученика: касса с разрезными цифрами (рис. 34), наборное полотно с набором геометрических фигур и изображений монет, счеты (рис. 35) и палочки. Не следует, однако, перегружать уроки предметной наглядностью; большинство методистов полагают, что для изучения первого десятка вполне достаточно иметь вышеуказанные наглядные пособия, а в качестве счетного материала можно использовать геометрические фигуры и несколько наборов картинок.

В процессе изучения первого десятка ученики должны овладеть такими жизненно необходимыми навыками, как счет и измерение. Упражнения в счете нельзя подменять упражнениями в назывании чисел в прямом и обратном порядке (что, кстати сказать, тоже нужно, но преследует другую цель — усвоение последовательности чисел натурального ряда). Счет предполагает наличие предметов и установление взаимно однозначного соответствия: число — элемент множества (отдельный предмет или группа предметов).

Опыт передовых  учителей подтверждает целесообразность более раннего включения в  программу таких величин, как  длина, вес, вместимость и их измерение  с помощью общепринятых единиц.

Уже при  изучении нумерации можно познакомить  детей с метром и сантиметром и научить их измерять длину с помощью этих мер, причем на первых порах полезно отмечать единицы измерения, чтобы затем проверять правильность полученного результата пересчитыванием единичных отрезков (рис. 36).

рис. 36

Обучение  арифметике должно быть связано не только с окружающей жизнью (в широком  смысле слова), но и с жизнью ребенка. Привлечение знаний детей, их представлений, а также расширение, практического опыта детей через обучение плодотворно влияет на усвоение новых арифметических сведений, воспитывает интерес ребенка к учебному предмету.

Экспериментальные данные последних лет подтверждают возможность и необходимость  раскрывать ученикам уже при изучении первого десяткане только вычислительные приемы, но и свойства арифметических действий, которые лежат в их основе, завершать формирование понятий введением в активный словарь детей математической терминологии (названия действий, названия компонентов и результатов действий и др.), знакомство со знаками =, >, <.

Чтобы обеспечить сознательное применение приема последовательного сложения, учитель раскрывает сочетательный закон сложения при помощи наглядных пособий и специальных упражнений. Ученикам предлагается, например, отложить на счетах 5 косточек и прибавить к ним по-разному 3 косточки, но так, чтобы назвать полученное число, не пересчитывая всех косточек. Дети прибавляют косточки по одной и группами. Затем подобные упражнения выполняются умозрительно: К, 4 кружкам надо прибавить 3 кружки; как это можно сделать? К 5 карандашам прибавить 2 карандаша и еще 1 карандаш; сколько карандашей прибавили и сколько карандашей всего стало?

К 6 ложкам надо прибавить еще 3 ложки; 1 ложку уже  прибавили, сколько еще ложек  надо прибавить? Аналогичные задания  выполняются с отвлеченными числами.

После изучения тех случаев сложения, для которых присчитывание было основным вычислительным приемом (от п + 2 до n + 4), в качестве обобщения наблюдаемых фактов можно подвести учащихся к формулировке сочетательного закона сложения в таком виде: второе число (второе слагаемое) можно прибавлять по-разному — результат (сумма) от этого не изменится.

Позднее учащиеся знакомятся с переместительным законом  сложения. Сначала данное свойство суммы устанавливается на подвижных  наглядных пособиях, например на счетах. Посредством присчитывания, а не счета, вычисляются результаты: 2 + 5 = 7 и 5 + 2 = 7. Дети убеждаются, что числа при сложении можно переставлять, что можно и к двум присчитать 5 и к пяти присчитать 2 — ответ получится один и тот же. Но быстрее и удобнее к пяти прибавить два. Наблюдения конкретных фактов учащиеся обобщают: легче к большему числу прибавить меньшее, чем наоборот. Затем при решении примеров дети практически применяют перестановку в тех случаях, когда первое слагаемое меньше второго. При этом дети обосновывают свои действия ссылкой на переместительный закон сложения: от перестановки чисел при сложении (от перестановки слагаемых) результат (сумма) не изменится.

Наряду с  углублением содержания работ над  первым десятком, необходимо уже на этой ступени начать планомерную  работу по развитию логического мышления детей. Без соблюдения этого требования нельзя решать проблему максимального развития младших школьников средствами обучения арифметике.

Для совершенствования  таких мыслительных операций, как  сравнение, обобщение, абстрагирование, полезны обобщающие уроки. Приведем образцы таких обобщений.

После изучения нумерации целью обобщающего урока может бытьвыяснение структуры натурального ряда. Сравнив несколько последовательных чисел, дети формулируют общие выводы: чтобы получить следующее число, надо к предыдущему прибавить единицу; следующее число больше предыдущего на единицу, а предыдущее меньше следующего на единицу. Число, которое больше на один, называют при счете после данного числа; число, которое меньше данного на единицу, называют при счете перед этим числом и т. д.

После изучения действий обобщающие уроки могут  быть посвящены сопоставлению различных  вычислительных приемов, выяснению  связи между сложением и вычитанием, а также закреплению знаний о  составе однозначных чисел. Особенно эффективно составление примеров с одинаковыми ответами. Запись таких примеров должна отражать новую по сравнению со сложением задачу — не нахождение суммы, а разложение ее:

5 = 4 + 1      5 = 2 + 3

5 = 3 + 2      5 = 1 + 4

Закреплению знаний о составе чисел служит также решение задач такого вида: у двух учеников 10 тетрадей; сколько тетрадей может быть у каждого?

Установка на обобщение знаний с первых шагов  обучения помогает ученикам самостоятельно решать и те задачи (в широком  смысле слова), которые специально еще не рассматривались. Так, если ученик усвоил вычислительный прием (как прибавлять тройку), то он решит сам примеры не только с числами в пределах первого десятка, но и с числами, большими десятка. Такие примеры можно предлагать для устного решения. Например, после решения примера 6 + 3 = 9 учитель может задать вопрос: а сколько получится, если сложить 16 и 3. Такая работа поддерживает интерес к арифметике, вызывает активность учеников на уроке.

Немаловажное  значение для повышения интереса к математике, вместе с тем и для развития математического мышления детей имеет так называемая занимательная арифметика — использование различных игр и упражнений занимательного характера на уроках и во внеурочное время.

Исследования  педагогов, психологов и методистов, проведенные в последние годы, показывают, что, используя рациональные методы обучения, можно значительно повысить теоретический уровень изучения первого десятка.