Биография и труды Чебышева Пафнутия Львовича

 В  теории чисел Ч., впервые после Евклида, существенно продвинул (1849, 1852) изучение вопроса о распределении простых чисел. Он доказал, что функция p(x) — число простых чисел, не превосходящих х, удовлетворяет неравенствам

, 

  где а < 1 и b > 1 — вычисленные Ч. постоянные (а = 0,921, b = 1,06). Исследование расположения простых чисел в ряду всех целых чисел привело Ч. также к исследованию квадратичных форм с положительными определителями. Работа Ч., посвященная приближению чисел рациональными числами (1866), сыграла важную роль в развитии теории диофантовых приближений. Он явился создателем новых направлений исследований в теории чисел и новых методов исследований. 

 Наиболее  многочисленны работы Ч. в области математического анализа. Ему была, в частности, посвящена диссертация на право чтения лекций, в которой Ч. исследовал интегрируемость некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах. Интегрированию алгебраических функций Ч. посвятил также ряд других работ. В одной из них (1853) была получена известная теорема об условиях интегрируемости в элементарных функциях дифференциального бинома. Важное направление исследований по математическому анализу составляют его работы по построению общей теории ортогональных многочленов. Поводом к её созданию явилось параболическое интерполирование способом наименьших квадратов. К этому же кругу идей примыкают исследования Ч. по проблеме моментов и по квадратурным формулам. Имея в виду сокращение вычислений, Ч. предложил (1873) рассматривать квадратурные формулы с равными коэффициентами. Исследования по квадратурным формулам и по теории интерполирования были тесно связаны с задачами, которые ставились перед Ч. в артиллерийском отделении военно-учёного комитета. 

 Ч.  — основоположник т. н. конструктивной  теории функций, основной составляющий  элемент которой — теория наилучшего  приближения функций. Простейшая постановка задачи Ч. такова (1854): дана непрерывная функция f (x); среди всех многочленов степени n найти такой Р (х), чтобы в данном промежутке [a, b] выражение

 

 было  возможно меньшим. 

 Помимо  указанного равномерного наилучшего приближения, Ч. рассматривал также квадратическое приближение, а помимо приближений алгебраическими многочленами, — приближение посредством тригонометрических полиномов и с помощью рациональных функций. В 1944 г. Академией наук учреждена премия имени П.Л.Чебышева.

2.7 Многочлены Чебышёва

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов и , названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

Многочлен Чебышёва первого  рода T_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^{n - 1}, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Были открыты самим Чебышёвым.

Многочлен Чебышёва второго  рода U_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2ⁿ, интеграл от абсолютной величины которого по интервалу [ − 1,1] принимает наименьшее возможное значение. Найдены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.

Рекурсивное определение.

Многочлены  Чебышёва первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены  Чебышёва второго рода U_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

(Рекурсия — метод определения класса объектов или методов предварительным заданием одного или нескольких (обычно простых) его базовых случаев или методов, а затем заданием на их основе правила построения определяемого класса, ссылающегося прямо или косвенно на эти базовые случаи.

Другими словами, рекурсия — способ общего определения объекта или действия через себя, с использованием ранее заданных частных определений. Рекурсия используется, когда можно выделить самоподобие задачи.)

Явные формулы 

Многочлены  Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

T_n(x)² − (x² − 1)U_{n − 1}(x)² = 1

в кольце многочленов с вещественными  коэффициентами и удовлетворяют  тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные  формулы:

Тригонометрическое  определение 

Многочлены  Чебышёва первого рода T_n(x) могут быть также определены с помощью равенства:

или, что  почти эквивалентно,

T_n(z) = cos(narccosz)

Многочлены  Чебышёва второго рода U_n(x) могут быть также определены с помощью равенства:

Несколько первых многочленов Чебышёва первого  рода

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышёва второго  рода

 

Свойства

Многочлены  Чебышёва обладают следующими свойствами:

• Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).
• Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:
• наибольший старший коэффициент
• наибольшее значение в любой точке
• Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы и  источников.

1) Ляпунов А. М., Пафнутий Львович Чебышев, в кн.: Чебышев П. Л., Избр. математические труды, М.—Л., 1946;

2) Стеклов В. А., Теория и практика в исследованиях Чебышева. Речь..., П., 1921;

3) Крылов А. Н., Пафнутий Львович Чебышев. Биографический очерк, М.—Л., 1944;

4) Научное наследие П. Л. Чебышева, в. 1—2, М.—Л., 1945;

5) Делоне Б. Н., Петербургская школа теории чисел, М.—Л., 1947 (лит.)

 6) http://www.cultinfo.ru - Электронное периодическое издание "Культура в Вологодской области".  
Зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере массовых коммуникаций, 
связи и охраны культурного наследия.  
Свидетельство о регистрации средства массовой информации  
Эл № ФС77-32194 от 09 июня 2008г.

7) http://ru.wikipedia.org/wiki -«ВикипедиЯ», свободная энциклопедия.