Алгоритмы решения задач систем массового обслуживания

Министерство  сельского хозяйства РФ

Федеральное государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия

имени академика  Д.Н.Прянишникова» 
 
 
 
 

Кафедра ИТАП 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовой  проект.

По  дисциплине: Методы оптимизации.

На  тему: «Алгоритмы решения задач систем массового обслуживания» 
 
 
 
 

Выполнила:

Студентка III курса группы ПИ-31а

Ерыпалова Л. В.

Проверил  преподаватель

Гревцев А. М. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Пермь 2011

Содержание 

Введение  …………………………………………………………………………3

1. Теория массового обслуживания. Основные положения……………….5

    1.1 Предмет и задачи теории массового  обслуживания…………………..5

    1.2 Система массового обслуживания……………………………………..6

         1.2.1 Классификация систем массового  обслуживания……………11

2. Практическое применение теории массового обслуживания……………27

    2.1 Решение задачи математическими  методами………………………27

         2.1.1 Постановка задачи………………………………………………27

Заключение……………………………………………………………………….35

Список  литературы………………………………………………………………36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение 

    За  последнее время в самых разных областях практики, возникла необходимость в решении различных вероятностных задач, связанных с работой так называемых систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, стоянки такси, парикмахерские и т.п.

    И буквально с момента рождения всем нам приходится сталкиваться с очередями. Очереди возникают практически во всех системах массового обслуживания (СМО) и теория массового обслуживания (теория очередей) занимается оценкой функционирования системы при заданных параметрах и поиском параметров, оптимальных по некоторым критериям.

    Актуальность данной темы обусловлена тем, что при грамотном подходе и при знании теории очередей, можно задать такие параметры функционирования системы, которые сведут затраты на содержание СМО к минимуму.

    Работа  вносит определенный вклад в обобщение  знаний о теории массового обслуживания, что подтверждает теоретическую  значимость.

    Практическая  часть состоит в возможности применения результатов исследования в курсе теории массового обслуживания.

    Целью данной курсовой работы стало изучение теоретических аспектов эффективного построения и функционирования СМО.

     Задачи:

1. Выделить основные элементы СМО.
2. Привести классификации СМО.
3. Изучить характеристики, отражающие эффективность функционирования СМО.
4. Провести практический анализ эффективности функционирования СМО.

     Объектом  изучения данной курсовой работы является применение теории массового обслуживания в исследовании рынка. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Теория  массового обслуживания. Основные положения

      1.1 Предмет и задачи  теории массового  обслуживания

    Теория  массового обслуживания опирается  на теорию вероятностей и математическую статистику.

    Работы датского ученого А.К. Эрланга (1878-1929) оказали особое влияние на первичное развитие теории массового обслуживания.

    Системы массового обслуживания (СМО) представляют собой системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач.

    Подобные системы играют важную роль во многих областях  экономики, финансов, производства и быта. В качестве примеров СМО в финансово-экономической; сфере можно привести банки различных типов (коммерческие,  инвестиционные,  ипотечные,  инновационные,  сберегательные), страховые организации, государственные акционерные общества, компании, фирмы, ассоциации, кооперативы, налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы).

    Такие системы, как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки  информации, транспортные системы, автоматизированные производственные участки, поточные линии, различные военные системы, в частности системы противовоздушной или противоракетной обороны, также могут рассматриваться как своеобразные СМО.

    Теория  массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

    Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

    Задача  теории массового  обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают способна ли данная система справляться с потоком заявок.

    Задачи  теории массового обслуживания носят  оптимизационный характер и в  конечном итоге включают экономический  аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.

      1.2 Система массового  обслуживания

    Система обслуживания считается заданной, если известны:

    1) поток требований, его характер;

    2) множество обслуживающих приборов;

    3) дисциплина обслуживания (совокупность  правил, задающих процесс обслуживания).

    Каждая  СМО состоит из какого-то числа  обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать: линии связи, различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции и т.п

    Всякая  СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявок продолжается какое-то случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

      Процесс работы СМО представляет собой случайный  процесс с дискретными состояниями  и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий ( или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь ).

     Каждая  СМО (рисунок 1) включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или иные операции, – кассиров, операторов, менеджеров и т.п.), обслуживающих некоторый поток заявок (требований), поступающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслуживание заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО – перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке – с простаиванием каналов.

Таким образом, в СМО имеются: входящий поток  заявок, дисциплина очереди, поток необслуженных (покинувших очередь) заявок, каналы обслуживания с механизмом обслуживания и выходящий поток обслуженных заявок.

     Рисунок 1- Структура СМО

     Дисциплина  очереди – это важный компонент  системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел – первый обслуживаешься;
• пришел последним – обслуживаешься первым;
• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности;
• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

    Механизм  обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и  структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры  обслуживания относятся: продолжительность  процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

    Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обсуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

    Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т.д.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система подобного рода способна обслуживать сразу несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

    Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т.е. в обслуживающей системе процедура обслуживания требований реализуется последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.