Алгебраические числа

      Лекция 4 Алгебраические числа

      Понятие алгебраического  числа

      Определение. Число α называют корнем многочлена А(х) от одной переменной, если А(α) = 0 (т.е. является корнем уравнения А(х) = 0)

      Теорема Безу: Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х - α равен А(α) (т.е. значению многочлена А(х) при х = α)

      Ясно, что если А(х) делится на х - α , т.е. если А(х) = (х - α)Q(х), то α – корень для А(х).

      Из  теоремы Безу следует и обратное утверждение: если α – корень многочлена А(х) , то А(х) делится на х - α без остатка. В самом деле, в этом случае имеем r = А(α) = 0

      Итак, справедливо следующее:

      Теорема. Число α  является корнем многочлена А(х) в том и только том случае, когда А(х) делится на х – α

      Утверждение. Многочлен степени n не может иметь более чем n различных корней.

      Мы  будем рассматривать только действительные алгебраические числа.

      Определение 1. Действительное число α называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми, неравными одновременно нулю, коэффициентами.

      Если  α – корень многочлена А(х) = степени n с целыми коэффициентами, т.е. если А(α) = 0, то α является корнем многочлена

        с рациональными коэффициентами. Очевидно, что корень любого многочлена с рациональными, неравными одновременно нулю, коэффициентами является корнем некоторого уравнения с целыми коэффициентами. Поэтому вместо определения 1 можно дать эквивалентное определение.

      Определение 2. Действительное число α называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами.

      Из  равенства А(α) = 0 следует, что А(α)В(α) = 0, где в качестве В(х) можно взять произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом, для любого алгебраического числа α существует бесконечное множество многочленов с рациональными коэффициентами, корнями которых является α; из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

      Рассмотрим  пример:

      Доказать, что следующее число является алгебраическим:

      Решение: Допустим, что = х. Тогда , поэтому,

       ,

       ,

       ,

       - уравнение с целыми коэффициентами. Следовательно, х является алгебраическим числом.

      Степень (порядок) алгебраического  числа.

      Определение 1: Число n называется степенью алгебраического числа α, если α есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно неравного нулю многочлена меньшей чем n степени, с рациональными коэффициентами, корнем которого является α.

      Пример:

       - алгебраическое число 3-й  степени. Действительно, это число  есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x³-5=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

      Определение 2: Если алгебраическое число n-й степени α является корнем многочлена

             А(x)=xⁿ+b₁x^n-1+…+b_n (n³1)                               (1)

с рациональными  коэффициентами, то А(x) называется минимальным многочленом для α.

      Таким образом, минимальным многочленом для алгебраического числа α является многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, корнем которого является α.

      Если  вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является α, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на коэффициент старшего члена.

      Пример: Минимальным многочленом для является x³-5, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена меньшей степени с рациональными коэффициентами.

      Теорема 1: Если В(x) минимальный многочлен алгебраического числа α и А(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что А(α)=0, то В(x) делитель А(x), т.е. А(x)=В(x)Q(x), где Q(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

      Доказательство: Согласно теореме о делении с остатком многочлен A(x) можно представить в виде:

      A(x)=B(x)Q(x)+R(x),

      где Q(x) и R(x) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень R(x) меньше степени B(x). Поскольку A(α)=0 и B(α)=0, то придавая x значение α , получаем R(α)=0; α – корень многочлена R(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для α многочлена, т.е. меньшей чем степень  α. Это может быть только если R(x) тождественно равен нулю, а значит A(x)=B(x)Q(x). Теорема доказана.

      Рассмотрим  пример:

       . Данный многочлен приводим над множеством рациональных чисел, так как его можно разложить в произведение многочленов с рациональными коэффициентами меньшей степени, чем 4.

      А многочлен  неприводим над множеством рациональных чисел, так как его нельзя разложить в произведение многочленов с рациональными коэффициентами, но можно представить как произведение многочленов с иррациональными коэффициентами.

      Теорема 2: Для любого алгебраического числа α его минимальный многочлен неприводим над множеством рациональных чисел.

      Доказательство:

      Пусть B(x) – минимальный многочлен для α. Предположим, что B(x) приводим над множеством рациональных чисел, т.е., что B(x)=w(x)j(x), где w(x)j(x) – многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n.

      Из  равенства w(x)j(x)=B(x)=0 следует, что из двух многочленов w(x) и j(x), по крайней мере, одно равно нулю. Пусть, например, w(x)=0, тогда α – корень тождественно не равного нулю многочлена w(x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей, чем у B(x). А это противоречит тому, что B(x) – минимальный многочлен для алгебраического числа α. Предположение о том, что B(x) приводим над множеством рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. B(x) неприводим над этим множеством. Теорема доказана.

      Теорема 3: Если α корень неприводимого над множеством рациональных чисел многочлена A(x) с рациональными коэффициентами степени n, то α – алгебраическое число степени n.

      Доказательство:

      Обозначим минимальный многочлен для α через B(x). Согласно теореме 1: A(x)=B(x)Q(x); где Q(x) – многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку A(x) неприводим над множеством рациональных чисел и B(x) отличен от постоянного, то Q(x)=c, где c – рациональное число. A(x)=cB(x), т.е. α – алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана. [11]

      Пример:

      Пусть p – простое число.

        при любом простом целом  a (a>1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена.

      x^p-a=0

      Если  α – алгебраическое число степени n и B(x) – минимальный многочлен для α, то все корни α ₁, α ₂, … α _n уравнения B(x)=0, отличные от α, называют сопряженным с α.

      Один  из корней совпадает с α, будем ставить его на первое место, т.е.

      α = α ₁.

      Алгебраическая  иррациональность в  знаменателе числа.

      Пример. Найти степень  числа , где .

      Фактически  перед нами ставится задача освободиться от корней в знаменателе дроби , или, как ещё говорят, «освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе». Задачу можно решить двумя способами.

      I способ. Будем искать числа такие, чтобы

      

      

      Если  учесть, что числа 1, линейно независимы над Q можно перейти к системе уравнений:

      

      Решая эту систему, находим:

       .

      Ответ.

      II способ. Число есть значение многочлена f(x) = при х = α = . Этот многочлен взаимно прост с многочленом р(х) = (минимальным многочленом числа α), так как р(х) неприводим, а f(х) не делится на p(х).

      В математике известно, что в данной ситуации можно записать:

      

Следовательно, существуют многочлены u(x) и v(x).

      Полагая в этом равенстве х = α, будем иметь:

      

      или

      

      - искомое представление для числа  . Итак, остаётся лишь найти многочлен u(x).

      Применим  к f(х) и р(х) алгоритм Евклида:

      1) , где ;

      2) где

      Получим:

      

      Полагая в последнем равенстве х = α и р(α) = 0, находим:

      

      или

      

      Ответ получился тот же самый, что и при 1 способе решения.

      Задание. Освободиться от α в знаменателе дроби

       ,

      если  α – корень уравнения

      

      Решение.      Положим

      

      С помощью известных нам приёмов  определяем, что многочлен р(х) не имеет рациональных корней; из этого, поскольку степень р(х) равна 3, следует, что р(х) неприводим над Q.

      Знаменатель данной дроби  не равен нулю, так как (число -1 не является корнем многочлена р(х)). Это означает, что многочлен взаимно прост с р(х) (в противном случае f(x) и р(х) имели бы общий корень -1, что, как мы видели, невозможно). Пользуясь этим, будем искать многочлены u(x) и v(x) такие, что

      

      Применим  к р(х) и f(х) алгоритм Евклида, получим:

      

,

      где  

      Далее находим:   

      Отсюда  имеем: