Алгебраические числа

Доказательство:

1)        Пусть  - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого 1, 2, … ,n,  и  - корень многочлена (x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого 1, 2, … m (=1). Рассмотрим многочлен:

F(x)=(x-(i+i))=

=              (x-1-1) (x-1-2) … (x-1-m)

              (x-2-1) (x-2-2) … (x-2-m)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

              (x-n-1) (x-n-2) … (x-n-m)              (2)

Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин 1, 2, … ,n, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению 1, 2, … m. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: 1, 2, … ,n и 1, 2, … m.

Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от 1, 2, … ,n и 1, 2, … m, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и (x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число +=1+1, являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.

2)        Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел  и  есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен:

F(x)=(x-ii)              (3)

Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней 11=.

3)        Пусть  - корень многочлена (x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi – целые числа). Тогда - является корнем многочлена с целыми коэффициентами.

(-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при 0 корень многочлена xn()=b0+b1x+ … bnxn. Таким образом, вместе с  алгебраическими числами являются - и .

Разность может быть представлена в виде +(-), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При 0 частное , являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.

Если степени алгебраических чисел  и  равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и (x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и  алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены (x), (-x), и xn одинаковой степени, а, следовательно, , -, - алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и - и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.

Пример:

1) и алгебраические числа 2-й степени, а - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если =, то 2=5+, 24-102+1=0, т.е.  корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x-)(x-)(x+)(x+)              (4)

Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени.

2) = и =, как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение = - алгебраическое число 3-й степени.

III. Рациональные приближения

алгебраических чисел.

3.1. Теорема Лиувилля.

Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби.

Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая, что для любой рациональной дроби , отличной от , будет выполняться неравенство:

              (5)

Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое, что для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство:

              (6)

В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема:

Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа  степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от , такое, что для всех рациональных чисел () будет иметь место неравенство:

              (7)

Доказательство:

Пусть f(x)=A0xn+ A1xn-1+An неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является . В качестве f(x) можно, например, взять многочлен, получающийся из минимального для  многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей.

Согласно теореме Безу, имеем:

f(x)=(x-)g(x),              (8)

где g(x) – многочлен с действительными коэффициентами.

Возьмем произвольное >0. |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте -; +, т.е. существует положительное число M, такое, что |g(x)|M, для всех x из этого сегмента. Обозначим через c=min , так, что и .

Для произвольного рационального числа могут представиться две возможности:

1)     лежит вне сегмента |-; +|, тогда

2)     удовлетворяет неравенствам:

-+, тогда |g()|M и, подставляя в (8) вместо x значение , получаем:

              (9)

Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени n2 не имеет рациональных корней, а при n=1 не имеет корней, отличных от , так что:

f()=

Поскольку числитель - целое неотрицательное, отличное от нуля, т.е. число большее или равное 1, то               (10). Сравнивая неравенства (9) и (10) получаем , так что и в этом случае имеем: . Теорема доказана.

Пример:

Пусть z – неквадратное целое число. Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел имело бы место неравенство:

.

- корень многочлена x-В. Деля x2-D на x-, находим g(x)=x+.

При -<x<+ имеем , т.е. M=+. В качестве c берем , при этом выгодней всего взять  так, что 2+-1=0, т.е. =.

При таком  получаем , так что при любых целых a и b имеем: .

3.2. Трансцендентные числа Лиувилля.

Числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами, не исчерпывают все множество действительных чисел, т.е. существуют действительные числа отличные от алгебраических.

Определение 6: Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.

Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем. Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел.

Теорема 6: Пусть  – действительное число. Если для любого натурального n1 и любого действительного c>0 существует хотя бы одна рациональная дробь , такая, что (11), то  – трансцендентное число.

Доказательство:

Если бы  было алгебраическим, то нашлось бы (теорема 5) целое положительное n и действительное c>0 такие, что для любой дроби было бы , а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что  алгебраическое число, т.е. трансцендентное число. Теорема доказана.

Числа , для которых при любых n1 и c>0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля.

Пример:

1)    

a – трансцендентное число.

Возьмем произвольные действительные n1 и c>0. Пусть , где k выбрано настолько большим, что и kn, тогда

Поскольку для произвольных n1 и c>0 можно найти дробь такую, что , то  – трансцендентное число.

Заключение.

Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы.

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел.

К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.

Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену.

В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Все теоремы даны с полными доказательствами. Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними, даны с доступными пояснениями и, при необходимости, с доказательством.

Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, первый параграф посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии.

Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще, как о развивающейся науке.

1