Алгебра матриц

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНОГО БИЗНЕСА

Кафедра «Мировая экономика»

Контрольная Работа

на тему:

«Алгебра матриц»                          

                          Выполнила:

                                                                      студентка 6812 группы

                                специальность:

                                                            «Лингвистика и межкультурная

                                                                      коммуникация»

                                                                      Сахабутдинова Айгуль Альбертовна

                                        Проверил: старший

                                                       преподаватель: Сибаева Г.Р.

Набережные Челны – 2008г.

Содержание

I.Теоретическая часть

I.1.Основные понятия теории матриц

Матрица (массив) – это прямоугольная таблица чисел или других величин.

                      Любое число такого массива называется элементом матрицы.

              Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

                      Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально, называется строкой матрицы, а вертикально – столбцом.

                      Количество строк в матрице обычно обозначается , количество столбцов – .

Количество элементов в матрице называется размерностью матрицы и обозначается .

Матрицу обычно обозначают большой буквой .

Ее элементы обозначаются той же, но маленькой буквой с индексами: , где - номер строки, – номер столбца, где стоит элемент а, причем

Общий вид матрицы:

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, в противном случае – прямоугольной.

Например:

Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая ее от до называется главной диагональю, а, наоборот, от до – побочной диагональю.

Если все элементы матрицы равны нулю, то она называется нулевой.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, называются диагональной:

Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали, – единицы, а остальные – нули, называются единичной.

Единичную матрицу обозначают .

Матрица называется положительной, если все элементы > 0.

Матица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом.

Ее размерность: .

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор – строкой.

Размерность: .

Преимущество матричной формы записи чисел в том, что в матрице в сжатом виде сосредоточено множество математических зависимостей.

Над матрицами могут выполняться операции.

I.2. Операции над матрицами

Сложения и вычитания матриц

Суммой (разностью) двух матриц и , имеющих строк и столбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц и . Получаемая в результате матрица C имеет ту же размерность .

Например:

Умножение матрицы на число

Матрицу можно умножить на число, для этого надо на это число умножить каждый элемент матрицы.

Например:

Умножение матрицы на матрицу

Матрицу можно умножить на матрицу.

Умножая первую строку первой матрицы на первый, второй и т.д. столбцы второй и т.д. элементы первой строки новой матрицы.

Пусть

    – вектор-строка;

     – вектор-столбец, тогда

Аналогичная операция производится с каждой строкой первой матицы.

Таким образом, произведением двух матриц – матрицы на матрицу – называется матрица , каждый элемент которой вычисляется по формуле:

I.3. Свойства операций над матрицами

1.

2.

3.

4.

5.

6.

I.4. Транспонированная матрица

Операция транспонирования матрицы заключается в перемене мест столбцов и строк исходной матрицы. В результате получается транспонированная матрица.

Свойства

1.

2.

3.

4. – симметричная матрица.

Симметричной называется такая квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично главной диагонали, равны между собой.

I.5. Обратная матрица

Во многих случаях для решения плановых задач используют обратные матрицы, которые получают путем выполнения операций обращения. Здесь уместна аналогия с обратным числом. Если a – действительное число, то обратное ему число, обозначаемое   , можно найти из соотношения . Это положение можно распространить и на матрицы, т.е.  – единичная матрица.

Определим обратную матрицу , если задана матрица .

Должно соблюдаться условие .

Обозначим:

Должно соблюдаться соотношение:

Тогда, перемножив на , получим:

                                                                          (1)

                                                                           (2)

                                                                           (3)

                                                                           (4)

Элементы матрицы известны, элементы – неизвестны.

Чтобы решить полученные системы уравнений, надо исключить известное из уравнений (1) и (3).

Для этого умножим уравнение (1) на , а уравнение (3) на :

                                                             (5)

                                                                (6)

Вычтем уравнение (6) из уравнения (5), получим:

,

тогда

.

Остальные неизвестные будут равны (аналогично):

Знаменатель везде одинаков и называется определителем матрицы.

Определитель второго порядка (для матрицы размерностью 2×2)
равен:

Обратную матрицу можно найти, если определитель матрицы равен 0.

I.6. Определитель матрицы

Определителем или детерминантом квадратной матрицы называется скаляр, образованный из элементов этой матрицы следующим образом:

Обозначим через – подматрицу матрицы , полученную вычеркиванием из матрицы - ой строки и - го столбца.

Например:

Определитель бывает только у квадратной матрицы.

Определитель-это число, получаемое из элементов этой матрицы по определенному правилу.

Определитель имеет порядок, равный порядку квадратной матрицы (т.е. размерность называют порядком у квадратной матрицы).

Порядком определителя называется число столбцов (строк) квадратной матрицы.

Определитель порядка равен:

где - алгебраическое дополнение, а – квадратная подматрица матрицы , полученная из вычеркиванием первой строки и - го столбца.

Аналогичную формулу можно записать для любой, а не только первой строки, причем алгебраическое дополнение в общем виде формулой:

где - подматрица , получаемая вычеркиванием - ой строки и -го столбца.

I.7. Свойства определителя

1) величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т.е.

2) перестановка двух столбцов или двух строк равносильна умножению его на – 1. Например:

3) если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4) умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число . Например:

5) если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю, (при ).

6) если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7) если каждый элемент n-го столбца (n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце (n-ой строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой- вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Например:

8) если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится.

Для формулировки следующего свойства определителя познакомимся с понятиями алгебраического дополнения и минора.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на , где – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так, алгебраическое дополнение элемента обозначается через , элемента - через и т.д.

9) определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.

10) сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки ровна нулю.

II. Практическая часть

1)     Вычислить произведение матриц:

;

Решение:

Ответ:

2)     Вычислить определитель второго порядка:

Решение:

Ответ:

3)     Вычислить определитель матрицы (методом треугольника):

Решение:

Ответ: -18.

4)     Найти обратную матрицу

Решение:

1.     

2.     

3.     

4.     

5.      =

              Ответ: =

5)     Решить систему уравнений:

              Решение:

              Ответ: (1;-1;1)