Задания и решения

Выделим полуплоскости, соответствующие условиям ограничений. Для этого подставим в исходные неравенства точку (0;0):

0+2·0≤1, 0≤1 – неравенство верно, следовательно, ОДР лежит ниже прямой 1

2·0-3·0≤3, 0≤3 – неравенство верно,следовательно,ОДР лежит выше прямой 2

5·0+0≤5, 0≤5 – неравенство верно, следовательно, ОДР лежит ниже прямой 3

ОДР для переменных х1 и х2 является внутренняя область треугольника ОАВ.

Построим вектор (1;-1) и прямую x1 – x2 =0.

x1 – x2 =0

Вектор (1;-1) перпендикулярен прямой x1 – x2 =0.

Рис. 2.1 Решение задачи линейного программирования

графическим методом.

Перемещая прямую x1 – x2 =0 вдоль направления вектора (1;-1), видим, что она входит в ОДР в точке А, т.е. функция z имеет минимум в точке А. Данная точка является пересечением оси ОУ (х1=0) и прямой х1+2х2=1. Подставляя значение х1=0 в это уравнение, получим, что х2=0,5. Итак х1=0, х2=0,5 – это точка (0;0,5). При этом min z = z(0;0,5)=0-0,5=-0,5.

Перемещая прямую x1 – x2 =0 вдоль направления вектора (1;-1) далее, видим, что она выходит из ОДР в точке В. Данная точка является пересечением оси ОХ (х2=0) и прямой х1+2х2=1 и 5х1+х2=5. Подставив значение х2=0 в это уравнение получим, что х1=1. Итак х1=1, х2=0 – это точка (1;0). При этом max z = z(1;0)=1-0=1.

Сравнивая данное решение с решением, полученным в 1-м пункте, делаем вывод, что они совпадают.

Задание 3. Использованию основных моделей системного анализа

для решения экономических задач

Таблица 3.1

Примечание: прибыль от реализации дополнительной продукции вычисляется согласно следующим зависимостям:

где - неизвестные количества дополнительной продукции, ПОП - потери по организационным причинам.

                                  Таблица 3.2

Таблица 3.3

Структурную схему системы можно представить следующим образом (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Структурная схема системы.

Если систему представить на макроуровне, то получаем модель «черного ящика» (рис.2):

Рис.3.2. Отображение системы на макроуровне.

Выразим сборочные единицы через исходные комплектующие b и c:

a:(1b,2c),

d:(1a,2b,3c) или (3b,5c),

e:(1a,2d,3c) или (7b,15c).

Выразим конечные изделия через исходные комплектующие:

1-е изд.: (e) или (7b,15c),

2-е изд.: (b),

3-е изд.: (5d,3c) или (15b,28c),

4-е изд.: (1a,7e) или (50b,107c),

5-е изд.: (2b,8d) или (26b,40c).

b→Qb→ Qb

c→Qc→ Qc

(1b,2c)→ Qa→ [(Qa)b; (2Qa)c]

(3b,5c)→ Qd→ [(3Qd)b; (5Qd)c]

(7b,15c)→ Qe→ [(7Qe)b; (15Qe)c]

Таким образом получено выражение структуры  и объема заказа через исходные комплектующие «b» и «с».

Подсчитаем количество продукции типа «b» и «c»,  необходимые для  реализации всех заказов:

(Qb + Qa + 3Qd + 7Qe)b - число комплектующих типа «b», необходимое  для реализации всего заказа;

(Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe)c - число комплектующих типа «c», необходимое  для реализации всего заказа.

Объемы заказов «Q» являются исходными для всех последующих рассуждений. Так как количество планируемой продукции должно превышать объёмы заказов, а объёмы готовой продукции занимают промежуточное положение, справедливы следующие соотношения:

Объем заказов составляет: Q1 =200, Q2 =150, Q3 =100, Q4 =50, Q5 =80. Время обработки одной детали типа «b» составляет 15 минут, типа  «c» - 10 минут.  В распоряжении имеется 3 станка  для производства деталей «b» и «c», работающих в 2 смены ( 2·8  часов),  при этом заказ необходимо выполнить в течении  10  рабочих дней. Известно также, что около 3% произведенной продукции составляет брак,  а 2% приходят в негодность по организационным причинам.

Прибыль от реализации дополнительной продукции вычисляется согласно следующим зависимостям:

где - неизвестные количества дополнительной продукции, ПОП -потери по организационным причинам.

Тогда целевая функция примет вид:

+ + + +

Учитывая структуру изделий (1b,2c)a, (3b;5c)d, (7b;15c)e, а также плановый заказ (Qb + Qa + 3Qd + 7Qe)b, (Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe)c получим следующую систему ограничений:

[(Qb + Qa + 3Qd + 7Qe)пл + (1Xa + 3Xd + 7Xe)доп]b ≤ Bmax

[(Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe) пл + (2Xa + 5Xd + 15Xe)доп]c ≤ Cmax

Qb + Qa + 3Qd + 7Qe = 150+200+3*50+7*80 = 1060

Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe = 100+2*200+5*50+15*80 = 1950

Bmax = 3*8*2*10 * 60/15 = 640

Cmax = 3*8*2*10 * 60/10 = 960