Задачи по "Эконометрике"

Задача 1

Изучается зависимость  объема производства от численности  людей по следующим данным

 

Задание.

1. Построить диаграмму рассеивания результата у и фактора х.
2. Определить точечные и интервальные оценки параметров линейной модели у = а + bx, а также дисперсии ошибок наблюдений σ².
3. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии.
4. Верифицировать построенную модель, использую

    - элементы теории корреляции;

    - дисперсионный анализ в регрессии.

5. Дать  интерпретацию коэффициентам регрессии.

6. В  случае пригодной линейной модели  построить точечный и интервальный  прогнозы ожидаемого среднемесячного объема производства, если численность составит 60 человек.

Статистический  анализ и прогноз осуществить  с надежностью γ = 0,95. 

  Решение.

1. Для построения диаграммы рассеивания нанесем на координатную плоскость XOY точки

(х_i, y_i), i = 1,…,9

Рис. 1

2. Так как точки (х_i, y_i ) на диаграмме рассеивания разбросаны относительно прямой, есть основание считать, что связь между х и у линейна и описывается уравнением:

у = а + bx ,

  где а  и b неизвестные параметры. Наилучшие оценки этих параметров, найденные методом наименьших квадратов, определяются по формулам: 

    Несмещенные оценки дисперсий оценок и получаются в виде

    Где - остаточная сумма квадратов, а - вычисленное по модели значение объясняемой переменной для данного х_i .

    Несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдений σ² будет величина

S² =

.

    Интервальные  оценки параметров модели определяют по формулам: 

    где - квантиль распределения Стьюдента

    (t – распределения) уровня и числа степеней свободы n-2. Здесь γ – доверительная вероятность или надежность. 

Для расчета  построим таблицу (табл.1) 
 

    Таблица 1

Результаты  наблюдений и необходимые расчеты 

для построения линейной регрессии 

 

Используя итоги  столбцов (2-6), найдем оценки коэффициентов  регрессии

3,8834;

0,4302.

Тогда уравнением линейной регрессии будет:

ŷ = 3,8834+0,4302х.

Оценки дисперсий  получаем в виде:

5,73548;

0,001801;

8,3526.

Для построения доверительных интервалов (интервальных оценок) с γ=0,95 из таблицы квантилей  распределения Стьюдента, найдем t_0.95=t(0.975;7) = 2,365.

Тогда

-1,780529 < a< 9,547287;

0,3298505 < b < 0,530578.

3. Оценка значимости коэффициентов регрессии проводиться с целью установления несущественных факторов: фактор, коэффициент при котором в уравнении линейной регрессии, статистически незначим, оказывает несущественное влияние и должен быть исключен из модели.

     Проверяемые гипотезы

     Н_0а : а = 0 при Н_1а : а ≠ 0 и Н_0b : b = 0 при Н_1b : b ≠ 0.

     Проверка  таких гипотез может осуществляться двумя равноценными способами: по t – критерию Стьюдента и с использованием доверительных интервалов. Используем здесь второй способ: гипотезы Н₀ следует принять на уровне значимости α = 1-γ, если соответствующая интервальная оценка покроет или содержит нуль. В противном случае, основная гипотеза отвергается.

     В нашем примере  доверительный интервал a содержит нуль, следовательно, оценки параметра статистически незначимы, а доверительный интервал b не содержит нуля, следовательно, оценки параметра статистически значимы. Это означает, что на размер объем производства (у) оказывает влияние численность занятых человек (х), так и другие неучтенные в модели факторы.

4. Верифицируем построенную модель. Для этого используем:
1. элементы теории корреляции;
2. дисперсионный анализ в регрессии.
1. Гипотеза об отсутствии функциональной линейной связи между х и у может быть записана как: Н₀ : r = 0. Для проверки этой гипотезы используется критерий, статистика которого ˜ t(n-2) распределена по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы.

     Вывод о значимости корреляции между х  и у может быть сделан, если где α- уровень значимости.   

     Здесь r_B – выборочный коэффициент корреляции, который равен:

 

0,967591. 
 

     Наблюдаемое и критическое значения статистик  Стьюдента равны

10,137695,  t _α/2 = t(0,025,9-2) = 2,365.

     Так как  10,137695 > 2,365, гипотезу об отсутствии линейной связи отвергаем.

     Коэффициент детерминации R² = r_B² = (0,967591)² = 0,936232. Он равен той доле дисперсии у, которая объяснена линейной зависимостью от х. В нашем случае 93,6% дисперсии объяснено линейной регрессией, а остальные 6,4% приходится на долю прочих факторов, не учтенных уравнением регрессии.

     Высокое значение как коэффициента корреляции, так и коэффициента детерминации свидетельствует о том, что данные наблюдений хорошо согласуются с представлением их  в виде линейной регрессионной модели.

2. Используем дисперсионный анализ в регрессии. Для этого составим в начале вспомогательную расчетную таблицу.

 

     Таблица 2

     Расчет  сумм квадратов

 

Здесь 26,11.

Вычисления, необходимые  для дисперсионного анализа, сведем в табл. 3 
 
 

Таблица 3

Дисперсионный анализ

 

    Здесь

      - общая сумма квадратов; сумма квадратов, обусловленная регрессией и остаточная сумма квадратов соответственно. Эти суммы используются для определения несмещенных оценок дисперсий.

     Гипотеза  об отсутствии линейной функциональной связи H₀ : b = 0 эквивалентна гипотезе о равенстве дисперсий, обусловленных регрессором х и ошибок наблюдений ε. Если эти дисперсии различаются между собой случайно, то есть незначимо, то фактор или регрессор х оказывает несущественное влияние и         H₀ : b = 0 следует принять. Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий            H₀ : σ_R² = σ_ε²  используется критерий, статистика которого ˜ F(1,n-2) распределена по закону Фишера с соответствующими числами степеней свободы. Если F₀ > F_кр, гипотеза Н₀ отвергается.  

     В нашем примере  F_кр = F(0,05;1;7) = 5,59.

<