Вероятностные модели систем.Ориентированный граф состояния системы. Уравнение Колмогорова

 
 Пример:

     Построение  сетевой модели Структура сетевой  модели и оценки продолжительности  работ (в сутках) заданы в табл. 5.3. Требуется:

      
     а) получить все характеристики  СМ; 
     б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней; 
     в) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% (т. е. р=0,95).

      
     Три первые графы табл. 5.3. содержат исходные данные, а две последние графы — результаты расчетов по формулам. Так, например,

      
     t_ож(i,j)=(3t_min(i,j)+2t_max(i,j))/5; 
     t_ож(1,2)=(3*5+2*7,5)/5=6; 
     t_ож(2,3)=(3*4+2*6,5)/5=5; 
     S²(i,j)=(t_max(i,j)–t_min(i,j)²/5²=0.04×(t_max(i,j)–t_min(i,j)²; 
     S²(1,2)=(7,5-5)²/25=0,25; 
     S²(2,3)=(6,5-4)²/25=0,25. 
 
     Таблица 5.3

      
     Получим сетевую модель, аналогичную  рассмотренной в п. 5.2.:  
      
     Получим сетевую модель, аналогичную рассмотренной в п. 5.2.: Таким образом, ход расчета характеристик модели остается аналогичен рассмотренному ранее. Напомним, что критическим является путь: L_кр=(1,2,4,5,10,11), а его продолжительность равна t_кр=t_ож=33 дня. 
     Дисперсия критического пути составляет: 
     S²_Kp=S²(l,2)+S²(2,4)+S²(4,5)+S²(5,10)+S²(10,M)=0,25+1,00+0,25+1,00+0,25=2,75. 
     Для использования формулы показателя дисперсии необходимо иметь среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т. е. S_Kp=1,66. Тогда имеем: 

     Р(t_кр<35)=0,5+0,5Ф{(35-33)1,66}=0.5+0.5Ф(1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885 
     Р(t_кр<30)=0,5+0,5Ф{(30-33)/1,66}=0,5-0,5Ф(1,8)=0,5-0,5•0,95=0,035.

      
     Таким образом, вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет 88,5%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней — всего 3,5% . 
     Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл. 5.2. найдем значение аргумента z, которое соответствует заданной вероятности 95% . В графе Ф(z) наиболее близкое значение (0,9545•100%) к ней соответствует z=1,9. В этой связи в формуле будем использовать именно это (не совсем точное) значение. Тогда получим:

      
     Т=t_ож(L_кр)+z-S_Kp=33+1,9×1,66=36,2 дн.

      
     Следовательно, максимальный  срок выполнения всего комплекса  работ при заданном уровне  вероятности р=95% составляет 36,2 дня.

      
Кроме обычных  характеристик СМ, при вероятностном  задании продолжительности  работ можно решить две дополнительные задачи: 
1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т; 
2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.

      
Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа Ф(г) использованием формулы: 
P(t_kp<T)=0,5+0,5Ф(z),

      
Где нормированное отклонение случайной  величины: z = (Т - t_Kp)/S _Kp; 
S_Kp — среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути. 
Соответствие между z и симметричным   интегралом   вероятностей  приведено в табл. 2. Более точно соответствие между этими величинами (когда z вычисляется более чем  с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной статистической литературе. 
 
При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ. 
Для решения второй задачи используется формула: 
Т= t_ож(L_kp )+ z *S _kp. 
 
 
 

     УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ:

     Введем  обозначения: 
- вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии  

      - условная вероятность того, что  система, будучи в момент t в  состоянии  , за время перейдет в состояние . 
Так как - вероятность появления хотя бы одного события за время , то 
                                      

     где - интенсивность потока событий, под воздействием которого система переходит из состояния в состояние . 
Разлагая показательную функцию в ряд Тейлора, имеем: 
                      

                                                                                 (5)

          
Пусть в момент времени t система находится в одном из возможных состояний. Определим вероятность того, что в момент она будет находиться в состоянии .  
Предположим, что за время система может только один раз изменить свое состояние. Это означает, что система может попасть в состояние двумя способами. 
1. В момент t система находилась в одном из состояний ,которое соединено дугой  
с состоянием , а за время перешла в состояние . Вероятность этого события  
                                             
                                                  

          где - множество дуг, заходящих в вершину . Например, для состояния (рис. 1) ,

     2. В момент t система находилась  в состоянии  и за время не вышла из него ни по одной из дуг, исходящих из вершины . Вероятность этого события  
 
                                      

      
где - множество дуг, исходящих из вершины  . Для состояния   (рис.1) ,

                                                        ,

      
                                       , 
где - вероятность того, что система, будучи в момент t в состоянии , за время перейдет из него в состояние или .  
Так как оба способа несовместны, то  
     ,        (6)

                                            k=0,1,…,N 
Перенесем в левую часть и разделим все члены уравнения (6) на получим 
 
                
В результате предельного перехода при  с учетом выражения (5) получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова 
                                ,      (7) 
Уравнение (7) в отличие от уравнения (6) является точным, так как члены, соответствующие двум и более переходам системы за время и опущенные в выражении (6), в результате предельного перехода обращаются в нуль. Действительно, пусть за время система может перейти из состояния в состояние   через состояние . Условная вероятность этого события с учетом формулы (5)

      
При записи правой части уравнения (7) целесообразно руководствоваться мнемоническим правилом : "то, что втекает, прибавляется, а что вытекает - вычитается". 
Для рассматриваемого примера (рис 1) уравнения Колмогорова имеют вид

      
Интегрируя систему линейных дифференциальных уравнений (7) с учетом условия нормировки (1) при заданных начальных условиях (например, , а для всех  
- в начальный момент система находится в состоянии ), можно определить распределение для вероятностей состояний системы в любой момент времени. 
На практике часто наибольший интерес представляет поведение системы в установившемся режиме при . Здесь сразу же возникает вопрос, как поведут себя вероятности при , стремятся ли они к каким либо пределам, существует ли в системе некоторый установившийся (стационарный) режим. 
Предельные вероятности  существуют и не зависят от начального состояния системы, если граф ее состояний конечен и существует маршрут между любой парой его вершин, то есть система может перейти из каждого состояния в любое другое за конечное число шагов. Такие системы называют эргодическими. 
Предельная вероятность - это средняя доля времени, в течение которого система находится в состоянии . Если, например, =0,3, то это означает, что в состоянии система времени ее функционирования. 
Для вычисления предельных вероятностей в уравнениях (7) производные приравнивают нулю и получают систему линейных алгебраических уравнений 
                                                      (8) 
Так как система (8) однородна, то при вычислении вероятностей   одно из уравнений (8) заменяют нормировочным условием 
                                                            

     При аналитическом исследовании удобно использовать следующий способ решения системы (8): сначала все предельные вероятности выражают через какую-либо одну, а затем их подставляют в условие нормировки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ:        

     Сетевая модель определяет с любой требуемой степенью детализации состав работ комплекса и порядок выполнения их во времени.

     Отличительной особенностью сетевой модели в сравнении с другими формами представления планов является четкое определение всех временных взаимосвязей операций.

     Сетевые модели используются не только как  средство решения разнообразных  задач планирования и прогнозирования. Сетевые модели также служат для  построения специального класса системы  организационного управления, получивших название систем сетевого планирования и управления.

     Среди различных методом систем сетевого планирования и управления наиболее распространены: метод критического пути — анализ состояния процесса в каждый заданный момент времени  и определение последовательности работ с целью избежания задержки времени выполнения плана к намеченному сроку и метод оценки пересмотра программ.

     Проекты по обоснованию привлекательности  производства нового вида продукции  важны прежде всего для предприятия, решившего начать производство нового вида продукции или изделия. Во –  первых, потому что руководство должно знать сроки выполнения переоборудования и пуска новых производящих линий. Во –вторых, для администрации важно можно ли сократить сроки пуска производства новой продукции, ускорив тем самым получение прибыли. В – третьих, план содержит расчет времени необходимого для того, чтобы вернуть деньги в банк.      

     Такого  рода проекты и все расчеты, производимые в них, важны и инвесторам или  кредиторам. Ведь знание того, когда, сколько  предприятие начнет получать прибыль, повышает уверенность инвестора и снижает  риск потери денежных средств.      

     Использование сетевых моделей значительно  упрощает процедуры расчета времени  и средств на пуск нового производства. Этим объясняется его широкое применение в экономическом обосновании инвестиционных проектов.