Вероятностные модели систем.Ориентированный граф состояния системы. Уравнение Колмогорова

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ЗАОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

КАФЕДРА «ТЕОРИИ И МЕТОДОВ  ПРОГНОЗИРОВАНИЯ»

ДИСЦИПЛИНА  «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА  И ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

ТЕМА: «ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ. ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА.» 
 
 
 
 
 
 

                                      Студентка: Горде Светлана Павловна

                                     4 курс, очно-заочная форма обучения

  Шифр 88…………

                                                           Преподаватель: Первухин Дмитрий Анатольевич 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2011 

ЗАДАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ: 

Целью контрольной работы является овладение навыками самостоятельной работы в направлении, ограниченном предметной областью исследования. 

Основные  задачи контрольной  работы:

- получение  углубленных знаний в рамках  заданной темы;

- освоение  математических методов и методического  аппарата с целью их применения  при решении практических задач;

- оценка степени усвоения материала, навыков самостоятельной работы по заданной теме и представления результатов исследования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ: 

1. ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………....….стр.4
2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ……......…………………………..…....стр.5
3. ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ………………………стр.
4. ПОСТРОЕНИЕ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ……………………………………….......стр.
5. РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ………….….....стр.11
6. УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ…......стр.
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….....стр.15
8. СПИСОЕ ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………...стр.16

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ: 

     Современные промышленные, научно-производственные, экономические и другие комплексы, включающие оборудование, людей, транспорт и объединенные в административные и хозяйственные подразделения, а также потребителей и среду, образуют сложную разветвленную схему взаимодействующих друг с другом факторов. 
  Это неизбежно приводит к формированию системного подхода к решению задач оптимального планирования, задач определения структур систем управления и нахождения оптимальных алгоритмов управления.  
  Этим вопросам и посвящена настоящая работа. Ее основная цель-объяснить и на практике применить  применять процедуры и методы построения моделей и получения с их помощью управленческих решений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ: 

Вероятностные (стохастические) модели используются для исследования таких систем, процесс  функционирования которых определяется случайными факторами. Учет случайных факторов является обязательным при исследовании процессов применения, эксплуатации, ремонта и обеспечения технических комплексов, при оценке их эффективности, разработке автоматизированных систем управления, обосновании технических требований к системам и так далее. 
Мощным средством разработки и исследования вероятностных моделей является аппарат теории марковских случайных процессов в развитие которого внесли большой вклад русские и советсткие ученые А.А.Марков, А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко, Н.П.Бусленко, Ю.В.Прохоров и многие другие. 
В данной главе рассматриваются дискретные системы с непрерывным временем. Возможные состояния такой системы  , , , ... можно перечислить (перенумеровать), а переход ее из одного состояния в другое возможен в любой, наперед неизвестный, случайный момент времени, причем этот переход осуществляется скачком (мгновенно). Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным). 
Множество  возможных состояний системы и множество возможных ее переходов из одного состояния в другое удобно представлять в виде ориентированнного графа (рис 1), вершинам которого соответствуют состояния системы, а дугам - возможные переходы, причем направление дуги указывает, из какого состояния и в какое возможен переход системы. Процесс функционирования системы в данном случае можно представить как случайное перемещение (блуждание) точки, изображающей систему, по графу состояний. Характерной особенностью стохастических систем является то, что для любого момента времени t нельзя однозначно указать, в каком из состояний находится система, а можно определить только распределение вероятностей для состояний, то есть определить значения вероятностей того, что в момент времени система находится в состоянии .. 
Так как в любой момент времени t система обязательно находится в одном из возможных ее состояний, то при t любом справедливо нормировочное условие: 
                                                                                      ,                        (рис 1) 
где N+1 - число возможных состояний системы. 
Совокупность функциональных соотношений и логических условий, позволяющих вычислить значение вероятностей для k=0,N, и представляет собой вероятностную модель системы. 
 

                                                                                                           (рис 1) 
 
 

                                                                  

                                                                                               
 
 
 
 
 

Из изложенного  следует, что при разработке модели системы необходимо прежде всего  определить множество S ее возможных  состояний и дать описание законов, в соответствии с которыми она переходит из одного состояния в другое. 
Множество S можно определить, во-первых, как множество допустимых комбинаций возможных состояний элементов системы. Важным при этом является анализ и учет взаимосвязей между элементами системы. 
Во-вторых, каждое состояние системы можно охарактеризовать численными значениями одного или нескольких ее параметров, т.е. множество возможных комбинаций численных значений параметров системы. Этот подход более целесообразен, так как набор параметров, характеризующих состояние системы, определяют не только исходя из природы системы, но и с учетом цели проводимого исследования. 
Оба указанных подхода не исключают, а наоборот, дополняют друг друга, так как на основе анализа возможных состояний элементов системы можно определить ее параметры. 
Чтобы выявить и описать закономерности перехода системы из одного состояния в другое, каждый переход удобно рассматривать как результат воздействия на систему

некоторого случайного потока событий. 
Поток - это последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (например, поток отказов технических систем, поток сообщений, поступающих в АСУ, и тому подобные). 
Наиболее важными свойствами потоков являются : стационарность, ординарность и отсутствие последействия. 
Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени. Важнейшей характеристикой потока является его интенсивность - среднее число событий в единице времени. Для стационарного потока  =const, а для нестационарного - функция времени. 
Ординарность потока означает практическую невозможность появления двух и более событий в один и тот же момент времени. 
Отсутствие последействия означает, что события появляются в потоке независимо друг от друга, т.е. вероятность появления определенного числа событий за некоторый произвольно выбранный промежуток времени не зависит от того, сколько событий произошло раньше (не зависит от предыстории изучаемого потока). 
Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, называется простейшим или стационарным пуассоновским потоком. Число событий пуассоновского потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона, то есть вероятность попадания ровно k событий на участок  

                                                    (2)

 
где а - среднее число событий, приходящихся на участок  . Для простейшего потока , а для нестационарного пуассоновского.

                                                        
 
 
 

 
Определим закон распределения интервала времени между событиями. Так как - вероятность того, что на участок длительности t попадает хотя бы одно событие, то 
                                                                                 (3)

  
Таким образом, закон распределения интервалов времени между событиями простейшего потока является экспоненциальным (показательным). 
Математическое ожидание (средняя длительность интервала между событиями), дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону, определяются соотношениями. 

                                      (4) 
 
Экспоненциальное распределение обладает замечательным свойством "не помнить о прошлом": если рассматриваемый промежуток времен уже "длился" некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части этого промежутка. Это означает, что вероятность появления события в течение некоторого интервала времени не зависит от того, сколько времени прошло после появления предыдущего события, а среднее время ожидания этого события также не зависит от того, с какого момента времени мы его ожидаем. 
Простейшие потоки событий довольно часто встречаются на практике, так как суммарный поток, образующийся при взаимном наложении достаточно большого числа стационарных и ординарных потоков с последействием (что часто имеет место на практике), является простейшим. 
Из сказанного следует: если переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием L простейших потоков интенсивности , то  
                                                         

 
Таким образом, каждой дуге графа состояний можно поставить в соответствие интенсивность суммарного потока событий . Такой граф называется размеченным, и ему соответствует квадратная матрица интенсивностей переходов порядка           (N+1, N+1), причем . Для размеченного графа состояний (рис 1) имеем

        
                                             

 
Можно доказать следующее утверждение : если все потоки событий, переводящие  систему из состояния в состояние, пуассоновские, то процесс функционирования системы представляет собой марковский процесс с непрерывным временем. Отличительной особенностью марковского процесса является то, что вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние. Понятие "марковский процесс" ввел советский математик А.Н.Колмогоров в честь русского ученого А.А.Маркова (1856-1922), внесшего большой вклад в теорию случайных процессов. 
 

     ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ :

     Ориентированный граф (кратко орграф) — (мульти) граф, рёбрам которого присвоено направление. Направленные рёбра именуются также дугами, а в некоторых источниках (Оре) и просто рёбрами.  

 
 

Формально, орграф D=(V, E) есть множество E упорядоченных пар вершин .

Дуга {u, v} инцидентна вершинам u и v. При этом говорят, что u — начальная вершина дуги, а v — конечная вершина.

Орграф, полученный из простого графа ориентацией ребер называется направленным. В отличие от последнего, в произвольном простом орграфе две вершины могут соединяться двумя разнонаправленными дугами.

Направленный полный граф называется турниром.

Связность

Маршрутом в орграфе называют чередующуюся последовательность вершин и дуг, вида v₀{v₀,v₁}v₁{v₁,v₂}v₂...v_n (вершины могут повторяться). Длина маршрута — количество дуг в нем.

Путь есть маршрут в орграфе без повторяющихся дуг, простой путь — без повторяющихся вершин. Если существует путь из одной вершины в другую, то вторая вершина достижима из первой.

Контур есть замкнутый путь.

Для полумаршрута снимается ограничение на направление дуг, аналогично определяются полупуть и полуконтур.

Орграф сильно связный, или просто сильный если все его вершины взаимно достижимы; односторонне связный, или просто односторонний если для любых двух вершин, по крайней мере одна достижима из другой; слабо связный, или просто слабый, если при игнорировании направления дуг получается связный (мульти)граф;

Максимальный  сильный подграф называется сильной компонентой; односторонняя компонента и слабая компонента определяются аналогично.

Конденсацией орграфа D называют орграф D*, вершинами которого служат сильные компоненты D, а дуга в D* показывает наличие хотя бы одной дуги между вершинами, входящими в соответствующие компоненты.