Принцип максимума

max R(t, k). (5.23)

В других же случаях магистрали в структуре решения отводится более существен-

ная роль.

В действительности очень редко краевые условия  принадлежат магистрали. Рас-

смотрим общий случай.

Пусть вместо выражения 5.21 имеем

k0 ≠ k1 (0) и k1 ≠ k1(T). (5.24)

Для решения этой задачи применим прием, отвечающий оптимизации процессов,

линейных относительно управления, с ограничениями на управление (см. 4.5.2.). В ре-

зультате найдем

k*(t) = arg t

k Vˆk

max

∈

R(t, k). (5.25)

В реальных экономических  задачах минимальный уровень  потребления строго по-

ложителен: 0< u1 ≤ u2 ≤1. В соответствии с формулой (5.25) построим границы γij(t), i=1,2,

j= 0,1, допустимой области t

k Vˆ . Функции γij(t) являются решениями дифференциального

уравнения процесса (j технике решения см. в разд. 1.5)

dt

dk = (1-a) (1-u)f(t, k) - (μ+n)k (5.26)

при соответствующих  краевых условиях (если j = 0, то берется k(0) = k0; если j = 1, то ис-

пользуется k(T) = k1) и ограничениях на управление (если i=1, то берется нижний предел

u= u1; если i=2, то u = 1).

Рассмотрим пример, когда k0 < k1(0), k1> k1(T), т.е. магистраль k1(t) проходит так,

как показано на рис. 5.4. Тогда оптимальная траектория будет состоять из трех участков с

моментами переключения τ1 и τ2, где τ1 является точкой пересечения границы γ10 с маги-

стралью k1(t) , а τ2 – точкой пересечения магистрали k1(t) с границей γ11.

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО  РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

67

Рис. 5.4. Графическая интерпретация решения задачи магистрального типа

Как видим, вначале  на временном интервале (0, τ1) почти все вкладывается в нако-

пление (потребление  в этот период на минимальном уровне u1). Начиная с τ1 развитие

идет по магистрали k1(t) вплоть до момента τ2, с которого опять почти все вкладывается в

экономику (потребление  вновь находится на нижнем уровне u1).

При решении дифференциального  уравнения (5.26) следует учитывать  наличие в

его правой части  нелинейности f(t, k) = b eρtkα, где 0<α<1, поэтому уравнение (5.26) ока-

зывается нелинейным. Линеаризация производится путем замены переменных z = kβ, где

β= 1-α. В результате указанной замены приходим к линейному относительно z

неоднородному дифференциальному  уравнению второго порядка, решение  которого

осуществляется  в полном соответствии с разд. 1.5. Производим необходимые согласно

вычисления и  определяем произвольные постоянные интегрирования, отвечающие

краевым условиям (5.24). В результате получаются аналитические u1074 выражения для

магистрали, ограничивающих функций γij(t), i= 1,2, j= 0,1, точки переключения τ1 и τ2, т.е.

все необходимое  для построения графика (см. рис. 5.4). В настоящем тексте указанные

аналитические выражения  опущены по причине их технической  громоздкости и,

одновременно, принципиальной ясности действий. Подробно данная техника вычислений

изложена в [9, разд. 6.2, с.150,151].

Глядя на рис. 5.4, можно представить такую картину  сути магистрали и магист-

рального функционирования экономики. Представим, что мы находимся  в начальном

пункте k0 и нам нужно на автомобиле переехать в конечный пункт k1. Неподалеку от k0

проходит автотрасса – аналог в данном случае магистрали. Мы оптимальным образом от

k0 по местной дороге γ10 доезжаем до автотрассы, далее в момент τ1 въезжаем на магист-

раль и едем по ней до момента τ2, после чего съезжаем с магистрали и по местной дороге

γ11 добираемся до конечного пункта k1. Эта интерпретация дает интуитивное представле-

ние об оптимальном  развитии экономики.

Экспериментальные расчеты по оценке оптимального развития США за период 22

года (1947 – 1968 гг.) на примерах внутренней частной и несельскохозяйственной эконо-

мики были проведены  согласно изложенной методике и отражены в [9, разд. 6.3,

с.151–159].

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО  РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

68

Вопросы для внеаудиторной  работы

1. Как определяется  производственная функция (ПФ)?

2. Какие свойства  имеет ПФ? Объясните их экономический  смысл.

3. Что такое  автономный научно-технический прогресс (НТП) и как он отражается  в

ПФ?

4. Каковы достоинства  и недостатки автономного НТП?

5. В чем проявляется нелинейность рассмотренной в настоящем разделе задачи? Как

она преодолевается?

6. Как определяется  магистраль? Почему она так называется?

7. Какие свойства  развития экономики на магистрали?

8. Как представляется  качественное развитие экономики при переключении режимов

с ограничения  на магистраль и обратно?

9. В чем, по  Вашему мнению, заключаются трудности  u1080 использования на практике

моделей магистрального типа?

10. По каким  исходным данным строятся ПФ?