Принцип максимума

двух слагаемых: производственной функции с точностью  до постоянного положительного

множителя (1-a) и линейного выражения. График r(t, k) и его составляющие при фиксиро-

ванном значении t показаны на рис. (5.2).

Рис. 5.2. Функция r (t, k) и ее составляющие

Функция r(t, k) строго вогнута по k: 2

2

k

r

∂

∂

< 0 при ∀ t, k(t) > 0. График r(t, k) в окре-

стности нуля близок к (1-a) r(t, k), так как при k→0

k

r

∂

∂

→∞, a на бесконечности близок к

–(μ+n+δ)k, так как при k →∞

k

r

∂

∂

→-(μ+n+δ)k< 0. Поэтому функция r(t, k) имеет единствен-

ный максимум по k, который достигается в точке k*(t) > 0.

Необходимым условием максимума r(t, k) по k является

k

r

∂

∂

=0 . Учитывая, что f(k,

t) = b kαeρt, имеем

(1-a)bαeρtkα-1 - (μ+n+δ) = 0.

Так как 0<α<1 и 1 - α=β, то

k*(t) = ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+ +

−

μ n δ

(1 a)bα 1/βeρt/β. (5.19)

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

65

График функции k1(t) представлен на рис. 5.3. Назовем эту функцию магистралью

данной динамической модели экономики. Ниже будет предложено образное пояснение

этого названия.

Рис. 5.3. Функция магистрали k1(t)

Управление, отвечающее магистрали, определяется подстановкой функции k1(t) в

дифференциальное  уравнение развития системы (5.14):

u1(t) = 1 - α

μ

(1 ) ( )

( ) ( )

1

1

1

a be k

n k t

dt

dk

− ρt

− +

. (5.20)

Из формулы (5.19) найдем

dt

dk1

= k1(t)

β

ρ

.

Тогда

u1(t) = 1 - (1 ) ρ ( 1)α 1

μ

− −

+ +

a be k

n

t

β

ρ

.

Так как

(k1)α-1 = (k1)-β = [

α

μ δ

a b

n

(1− )

+ +

e-ρt]-1e-ρt,

то получим  оптимальное управление

u1(t) = 1 - α

μ δ

β

ρ

+ +

+ +

n

μ n

в предположении, что 0 ≤ u1≤1.

Нетрудно показать, что для специально подобранных  краевых условий, когда они

лежат на магистрали

k0 = k0(0) и k1= k1(T), (5.21)

последняя является оптимальным режимом развития экономики

k1(t) = arg

k

max R(t, k). (5.22)

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО  РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

66

Действительно, пусть выполняется условие (5.22), тогда процесс v1= (k1, u1, f(k1)) ∈

M оптимален вследствие теоремы 4.2. Действительно, этот процесс обеспечивает макси-

мум R(t,k) при каждом t:

• по u – в силу независимости R от управления u, что достигается выбором функ-

ции ϕ(k, t);

• условие 2 теоремы 4.2 по k и x выполняется по построению.

• С другой стороны, процесс v1 является допустимым поскольку выполняются сле-

дующие условия:

• u найдено подстановкой k1 в уравнение процесса;

• 0 ≤ u ≤ 1;

• граничные условия подобраны специальным образом.

Отметим, что условие  реализуемости 0 ≤ u ≤ 1 в данной задаче выполняется. Это

можно проверить. Для функции Кобба-Дугласа экономической  магистралью является кри-

вая постоянного  роста капиталовооруженности, пропорционального  темпу роста НТП , а

оптимальное управление, реализующее эту магистраль, –  постоянная величина. Итак, для

специально подобранных  краевых условий (5.21) магистраль представляет оптимальный

режим развития экономики

k1(t) = arg

-∞<k<∞