Построение многофакторной линейной регрессионной модели

Министерство  образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Костромской Государственный  Технологический  Университет 
 

Кафедра высшей математики 
 
 
 

Контрольная работа №2

по эконометрике:

«Построение многофакторной линейной регрессионной модели»

Вариант 6 
 
 

Выполнила:студентка заочного факультета

специальности 080109

шифр  09-ЗБВ-66

Ушанова Н. Ю.

Проверила: Катержина С. Ф. 
 

Кострома 2009 

     В результате наблюдений получены значения зависимых между собой величин  X1, X2 и Y.

     Имеются следующие данные о цене на нефть (X1), производстве нефти (X2) и индексом нефтяных компаний (Y):

 

     Требуется:

     1. Найти уравнение множественной  регрессии Y по X1 и X2.

     2. Оценить значимость коэффициентов этого уравнения на уровне a=0,05.

     3. Найти коэффициент множественной детерминации и пояснить его смысл.

     4. Рассчитать частные коэффициенты корреляции и частные коэффициенты детерминации и пояснить их экономический смысл.

     5. Сравнить раздельное влияние на результирующий показатель каждой из объясняющих переменных, используя стандартизированные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности.

     6. Проверить значимость полученного  уравнения регрессии на 5%-ом уровне  по F-критерию. 

     Часть 1

    Для описания зависимости между двумя  факторами воспользуемся уравнением двухфакторной линейной регрессии, классическая модель которой имеет вид:

    y_i = a + b₁ x_1i+ b₂ x_2i 

    Параметры модели a, b_1,и b₂ оцениваются методом наименьших квадратов.

    

    Проделав  ряд преобразований, получим систему  нормальных уравнений, содержащую три уравнения с тремя неизвестными a, b_1,и b₂:

    

    Для удобства вычислений исходные данные представим в виде табл. 1.

     Таблица 1

 

    Подставляя  данные из таблицы 1, получим систему  нормальных уравнений, решая которую, найдем оценки a, b_1,и b₂.

     

     Решение системы выполнено с использованием программы MathCAD:

     

     

 
 
 
     

 
     

 
 
 

     Таким образом, имеем следующие значения оценок:

a = 7039, b₁ = 212,42, b₂ = –94,18.

     В нашем случае уравнение множественной  регрессии имеет вид:

     

     Часть 2

     Проведем  проверку качества регрессионной модели, оценив значимость коэффициентов регрессии, по t-статистике Стьюдента. Расчетное значение t-критерия с числом степеней свободы f=n-m-1 находят путем деления j-го коэффициента регрессии на стандартную ошибку этого коэффициента, которая для случая двухфакторной модели вычисляется по формуле:

       для j=1,2 (m=2),

где – остаточная дисперсия;

 – парный коэффициент корреляции между x₁ и x2 (вычислен ниже с помощью Excel функции «КОРРЕЛ»: ).

     

     

     Для определения стандартных ошибок коэффициентов регрессии b₁ и b₂ проведем расчеты с использованием таблицы 2: 
 

     Таблица 2

 

     

     

     

     В нашем случае расчетные значения t-критериев Стьюдента равны:

     

     

     Для α=0,05 при степени свободы f=n-m-1=15-2-1=12 табличное значение t-критерия равно 1,782. Так как , делаем вывод, что коэффициента b₁ не значим в модели. А так как , то коэффициент b₂ тоже не значим в модели. 
 

     Часть 3

     Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции , , (вычислены с помощью Excel функции «КОРРЕЛ»):

     

     

     

     После этого вычислим коэффициент множественной  корреляции по формуле для случая двухфакторной модели:

     

    

     Значение  множественной корреляции , что выше значения коэффициента корреляции в случае однофакторной модели (к/р 1: r=0,435). Таким образом, степень тесноты связи индекса нефтяных компаний с ценой на нефть и объемом ее производства является очень высокой.

     Величина  называется множественным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результирующего показателя под воздействием изучаемых факторных признаков. В нашем примере , это означает, что совместное влияние цены на нефть и объемов ее производства объясняет более 82% изменения индексов нефтяных компаний. В контрольной работе №1 были выполнены аналогичные расчеты для одной объясняющей переменной (X₁ – цены на нефть) и получено значение коэффициента детерминации . Сравнивая значения и , можно сказать, что добавление второй объясняющей переменной (X₂ – производства нефти) увеличило величину коэффициента детерминации, определяющего качество модели.

     При добавлении очередного фактора в  модель величина всегда растет, но это не всегда означает улучшение качества полученной эконометрической модели. Попыткой устранить эффект, связанный с ростом при возрастании числа факторов, является коррекция значения с учетом используемых факторов в нашей модели.

     Скорректированный имеет вид:

      , где n – объем выборки, k - число оцениваемых параметров в уравнении регрессии. Для нашего случая:

     

     Часть 4

     Оценка  тесноты связи между результирующим показателем и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов в многофакторных моделях осуществляется при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результирующим показателем y и факторным признаком x₁ при неизменном значении факторного признака x₂ рассчитывается по формуле:

     

где используются парные коэффициенты корреляции. Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции между результирующим показателем y и факторным признаком x₂ при неизменном значении факторного признака x₁.

     Рассчитаем  частные коэффициенты корреляции для  рассматриваемого примера с использованием системы MathCAD:

     

     

     

     

 
 
 
 

     Таким образом, частные коэффициенты корреляции индексов нефтяных компаний от цены на нефть и объемов ее производства составляют и . То есть теснота связи между индексом нефтяных компаний и ценой на нефть при неизменных объемах ее производства является слабой, а теснота связи между индексом нефтяных компаний и объемами производства нефти при неизменной цене на нефть является очень слабой.

     Если  частные коэффициенты и возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результирующего показателя под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В нашем примере и , следовательно, влиянием цены на нефть при неизменных объемах ее производства объясняется 9,7% изменения индекса нефтяных компаний, а изменение объемов производства нефти при неизменной цене на нее объясняет 8% изменения индекса нефтяных компаний.

     Часть 5

     Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам: