Понятие теории игр

    Содержание:

Введение………………………………………………………………….…. …...5

I. Теоретическая часть…………………………………………………………. 6

    1.1. Понятие теории игр…………………………………………………….......-

    1.1.1.Основные понятия и определения.............................................................-

    1.1.2. Классификация игр…………………………………..………….. ……...7

    1.1.3. Игры с природой……………………..………………………….. …….10

    1.2. Матричные игры…………………………..……………………….. ……11

    1.2.1. Основные понятия матричных игр…………………………………...... -

    1.2.2. Смешанное расширение матричной игры……………………….. ......14

    1.2.3. Свойства решений матричных игр…………………………………....17

   1.2.4. Сведение матричной игры к задаче линейного 

              программирования……………………………………………………...20

II. Практическая часть………………………………………………………...23

    2.1. Постановка задачи……………………………………………………….... -

     2.2. Критерии для принятия решений……………………………………….24

     2.3. Решение задачи…………………………………………………………..25

Заключение……………………………………………………………………...29

Список  литературы 
 

Введение

    Тема  данной курсовой работы является достаточно актуальной, так как  теория игр  занимается изучением различных  конфликтных ситуаций, где сталкиваются интересы индивидов, партий, государств и т. п. В основном такие ситуации  возникают в экономике, в управлении запасами и других областях человеческой деятельности. Конфликт может произойти также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица.

    Математическая  теория игр устанавливает принципы оптимального поведения в условиях неопределенности (конфликта), доказывает  существование решений, удовлетворяющих этим принципам, указывает алгоритмы  нахождения решений и реализует их. К тому же, она способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход.

    Цель  работы состоит в том, чтобы получить все необходимые и наиболее важные знания о теории игр, а именно: изучить  основные понятия и  определения, рассмотреть некоторые виды игр, наиболее подробно ознакомиться с матричными играми, а также с методами и  алгоритмами их решения. 
 
 
 
 
 
 

    I. Теоретическая часть.

    1.1.Понятие теории игр.

    1.1.1.Основные понятия и определения.

    Обычно  теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных  ситуаций. Это значит, что можно  выработать оптимальные правила  поведения каждой стороны, участвующей  в решении конфликтной ситуации.

    Определение. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

    Под термином «игра» понимается совокупность предварительно оговорённых правил и условий, согласно которым действуют  по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремиться к достижению собственных целей. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.

    Количественная  оценка результатов игры v_j (j= ), где n-число игроков, называется платежом или выигрышем.

    Если  v_j>0 – выигрыш;

            v_j<0 – проигрыш;

            v_j=0 – ничейный исход (j= ).

    В большинстве случаев имеют место  игры с нулевой суммой, то есть когда для платежей всех участников игры выполняется условие:

    v₁+ v₂+…+v_n=0.

    В играх с нулевой суммой выигрыш  переходит от одного участника игры к другому, не поступая из внешних  источников.

    Игры, в которых участвуют два игрока, называются парными.

    Принятие  игроком решения – ход игры. Ходы могут быть личные (выбран лично игроком) и случайные (выбран с помощью механизма случайного выбора).

    Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой  он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.

    Определение. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний выигрыш).

    1.1.2. Классификация игр.

    Классификацию игр можно выделить по определённым критериям:

      1. Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.

    2. Количество стратегий игры. По  этому критерию игры делятся  на конечные и бесконечные.  В конечной игре каждый из  игроков имеет конечное число  возможных стратегий. Если хотя  бы один из игроков имеет  бесконечное число возможных  стратегий, игра является бесконечной.

    3. Взаимоотношения сторон. Согласно  данному критерию игры делятся  на кооперативные, коалиционные  и бескоалиционные. Если игроки  не имеют права вступать в  соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к  бескоалиционным; если игроки  могут вступать в соглашения, создавать коалиции - коалиционной. Кооперативная игра - это игра, в которой заранее определены коалиции.

    4. Характер выигрышей. Этот критерий  позволяет классифицировать игры  с нулевой и с ненулевой  суммой. Игра с нулевой суммой  предусматривает условие: «сумма  выигрышей всех игроков в каждой  партии равна нулю». Игры двух  игроков с нулевой суммой относят  к классу антагонистических. Естественно,  выигрыш одного игрока при  этом равен проигрышу другого.  Примерами игр с нулевой суммой  служат многие экономические  задачи. В них общий капитал  всех игроков перераспределяется  между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой  также можно отнести большое  количество экономических задач.  Например, в результате торговых  взаимоотношений стран, участвующих  в игре, все участники могут  оказаться в выигрыше. Игра, в  которой нужно вносить взнос  за право участия в ней, является  игрой с ненулевой суммой.

    5. Вид функции выигрышей. По этому  критерию игры подразделяются  на матричные, биматричные, непрерывные,  выпуклые, сепарабельные и т.д.  Поясним суть некоторых из  них.

    Матричная игра - конечная игра двух игроков с  нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является прямоугольной (см. табл. 1). Номер строки матрицы  соответствует номеру стратегии, применяемой  игроком 1. Номер столбца соответствует  номеру стратегии игрока 2. Выигрыш  игрока 1 является элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу  игрока 1. Матричные игры всегда имеют  решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного  программирования.

    Биматричная игра - конечная игра двух игроков с  ненулевой суммой. Выигрыши каждого  игрока задаются своей матрицей, в  которой строка соответствует стратегии  игрока 1, а столбец - стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игрока 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков.

    Если  функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.

    Если  функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента, то игра относится  к сепарабельной.

    6. Количество ходов. Согласно этому  критерию игры можно разделить  на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются  после одного хода каждого  игрока. Так, в матричной игре  после одного хода каждого  из игроков происходит распределение  выигрышей. Многошаговые игры  бывают позиционными, стохастическими,  дифференциальными и др.

    7. Информированность сторон. По данному  критерию различают игры с  полной и неполной информацией.  Если каждый игрок на каждом  ходу игры знает все ранее  примененные другими игроками  на предыдущих ходах стратегии,  такая игра определяется как  игра с полной информацией.  Если игроку не все стратегии  предыдущих ходов других игроков  известны, то игра классифицируется  как игра с неполной информацией.  Мы далее убедимся, что игра  с полной информацией имеет  решение. Решением будет седловая  точка при чистых стратегиях.

    8. Степень неполноты информации. По  этому критерию игры подразделяются  на статистические (в условиях  частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности). Игры с природой часто относят  к статистическим играм. В статистической  игре имеется возможность получения  информации на основе статистического  эксперимента, при котором вычисляется  или оценивается распределение  вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений.

    1.1.3. Игры с природой.

    Модели  в виде стратегических игр, в экономической  практике могут не в полной мере оказаться адекватными действительности, поскольку реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых  экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко  экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенности должно приниматься однократно. Это  порождает необходимость развития методов моделирования принятия решений в условиях неопределенности и риска.

    Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые игры с природой. Формально изучение “игр с природой“, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной  матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной  матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому  результату.

    Отличительная особенность игры с природой состоит  в том, что в ней сознательно  действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно  против игрока 1 не действует, а выступает  как не имеющий конкретной цели и  случайным образом выбирающий очередные  «ходы» партнер по игре. Поэтому  термин «природа» характеризует  некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно  может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

    1.2. Матричные игры.

    1.2.1. Основные понятия матричных игр.

    Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая  абстрактная игра двух игроков.

    Первый  игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок  примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.

    Каждый  из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i= ), 2 – свою j-ю стратегию (j= ), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij< 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij | ). На этом игра заканчивается.