Парная линейная регрессия

 

 

       1.2 Логарифмическая зависимость

      1. Построить логарифмическую зависимость (регрессию вида Ŷ=a +b*lnx). Вычисление коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов, дать интерпретацию в терминах задачи.

    Таблица №10

    Вспомогательные данные

Замена:  ỹ= a+ bLn(х),  где Ln(х)= х*;  ỹ= a+ bх*

    В таблице все средние находятся  по формуле средней арифметической простой: Хср. = ∑х / N.

    b = = = 67,97196

    a = y_ср – b*x’_ср = 207,4545 –67,97196*1, 433464 = 110,0192

    ỹ = 110,0192 – 67,97196 x*

      2. Проверить значимость коэффициентов  регрессии.

    Таблица №11

    Вспомогательные данные

      S² = =  = 1155, 74

      S²_b = = = 333, 0868

      S²_a = S²_b * (x’²)_ср = 33,0868*2,370255 = 789,5006

      t_расч (b) = b/ S_b = 67, 97196/ 333,0868^0.5 = 3,724355

      t_расч (a) = a/ S_a = 110, 0192/789,5006^0.5 = 3,915544

      t_теор = t _{ά/2; N-2} = 2,262159

      Т.к. [t_расч b] > t_теор b, то коэффициент b статистически значим.

      Т.к. [t_расч a] > t_теор a, то коэффициент a статистически значим.

      3. Определить тесноту связи между x и y, рассчитав корреляционное отношение.

      η = = =0,778772

      Т.к. η близко к единице, то связь между X и Y сильная.

      4. Определить автокорреляцию остатков  с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

      d = = = 2,082807

      Для критерия d найдены критические границы, позволяющие принять и отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

      По  таблице распределения Дарбина-Уотсона  при заданном уравнении значимость «α»=0,05 в числе «N»=11 и количестве объясняющих переменных «m»=1 определяют критические границы: d₁ = 0,927, d₂ = 1,324, (4 - d₁) = 3, 073, (4 - d₂) = 2, 676

      Так как d попадает в интервал (d2; 4-d2), то означает, что автокорреляция остатков отсутствует. Отсутствие автокорреляции остатков является одним из подтверждений высокого качества модели.

    5. Оценить прогнозные качества  модели.

    Таблица №12

    Вспомогательные данные

      Качество  уравнения регрессии оценивается  с помощью средней ошибки аппроксимации: σ = = = 14,83156

      Значит, фактическое значение себестоимости 1т. литья от расчетных по уравнению  регрессии в среднем различаются  на σ=14,83156. Если ошибка аппроксимации  не превышает 10%, полученное уравнение можно оценить как вполне хорошее, модель не приемлема для прогнозирования.

    6) Все расчеты подтвердить в  пакете «Анализ данных».

Таблица №13

    ВЫВОД ИТОГОВ

    Дисперсионный анализ

 

      1.3 Степенная зависимость

      1. Построить степенную зависимость (регрессию вида Ŷ = ax^b). Вычисление коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов, дать интерпретацию в терминах задачи.

    Таблица №14

    Вспомогательные данные