Определение параметров нестационарного нелинейного уравнения регрессии

Таким образом, получаем последовательность, состоящую из "+" и "-", общее  число которых не превосходит n.

Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией.

Для того, чтобы последовательность e_i была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее количество серий слишком малым.    

Обозначим протяженность  самой  длинной серии как k_max, а общее число серий – через ν. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5%-ого уровня значимости:

                                                   

K_max<[3,3 lg(n+1)]

 

Где:

K_max – протяженность самой длинной серии

n - общее число серий

[ ] – целая часть числа

 

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном  характере отклонений уровней остаточной компоненты отвергается и, следовательно, линейная модель множественной регрессии признается неадекватной.

 

 

 

Проверяя случайность  колебаний уровней остаточной последовательности, получили:

 

Kmax=4; Kmax<[3,3 lg(n+1)]=4,377

n=11;n> =6,223

 

Поскольку оба неравенства выполняются, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней остаточной компоненты принимается и, следовательно, модель признается адекватной.

 

 

2. Проверка  соответствия распределения случайной  компоненты нормальному закону  распределения

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения производится обычно приближенно с помощью нахождения показателей асимметрии (γ₁) и эксцесса (γ₂). Так как изучаемые ряды, как правило, не очень велики, то это производится на основании сравнения найденных показателей с теоретическими. При нормальном распределении некоторой генеральной совокупности показатели ассиметрии и эксцесса должны быть равны 0 (γ₁ = 0, γ₂ = 0). При конечной выборке из генеральной совокупности показатели ассиметрии и эксцесса имеют отклонения от 0.

Предположим что, отклонение от тренда представляет собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса.

Для оценки соответствия выбранной  совокупности данных нормальному закону распределения используется так называемая оценка показателей ассиметрии и эксцесса.

В качестве оценки ассиметрии используется формула:

 

 

Оценка эксцесса:  

 

 где:   

       g* ₁ – выборочная характеристика асимметрии

       g* ₂ – выборочная характеристика эксцесса

         σ – среднеквадратичное (стандартное)  отклонение ассиметрии и эксцесса.

 

 

 

Если одновременно выполняются  неравенства:

то гипотеза нормальном характере  распределения случайной компоненты принимается. Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

            

то гипотеза о нормальном характере  распределения отвергается, линейная модель уравнения регрессии признается неадекватной.

Другие случаи требуют дополнительной проверки при помощи более сложных критериев.

 

При проверке соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения  выполняются неравенства: g₁= -0,461; g₂= -0,912; s_g1= 0,473; s_g2= 0,761

                                      

0,461<0,709                     0,627<1,142                         0,461<0,946                   0,627<1,522

Следовательно, гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.

 

 

3.Проверка  равенства математического ожидания  случайной компоненты нулю

Поскольку случайная компонента распределена по нормальному закону, то имеет  место осуществлять проверку равенства  математического ожидания нулю.

Проверка равенства математического  ожидания случайной компоненты нулю осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия находится по формуле:

     

 

                                 

где:      

             e  – среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности  e_I;                                      

             S_e – стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности;

             0 – теоретическое значение математического  ожидания e_i.

 

Если расчетное значение t меньше табличного значения t_a статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости a и числом степеней свободы k = n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается. В противном случае эта гипотеза отвергается, и модель считается неадекватной. 

 

=92,141; ε =-0,00025;    t=-1,2134E-0,5

 

Полученное нами расчетное значение t равно -1,2134Е-0,5, что меньше табличного значения  t-статистики Стьюдента (t_табл=1,73). Следовательно, гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается, модель считается адекватной.

 

 

7.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧНОСТИ МОДЕЛИ

Точность модели характеризуется  величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемых переменных. Определяем, при положительном решении вопроса об адекватности модели, точность модели, используя статистические показатели точности. В качестве статистических показателей точности применяются следующие:

 

Среднеквадратичное отклонение:

 

 

 

где:  y_i – фактическое значение рядя

       ỹ_i – теоретическое значение ряда

         n – количество наблюдений

         р –количество  независимых параметров

 

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

 

Коэффициент сходимости:

 

     где:  ỹ_i – теоретическое значение ряда

 

Коэффициент детерминации:

 

В данной задаче

 

=94,å

=0,112

=0,064

R²=0,936

 

На основании указанных показателей  можно сделать выбор из нескольких адекватных трендовых моделей экономической динамики наиболее точной, хотя может встретиться случай, когда по некоторому показателю более точна одна модель, а по другому – другая модель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Модель считается адекватной, так как правильно отражает систематические компоненты этого ряда. Остаточная компонента:

i = 1 ÷ n ,

удовлетворяет свойствам случайной  компоненты ряда:

• случайность колебаний уровней остаточной последовательности;
• соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;
• равенство нулю математического ожидания случайной компоненты;
• независимость значений уровней случайной компоненты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  используемой литературы

 

1. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – XIV, 402 с.
3. Елисеева И.И., Эконометрика – М., 2001, 347 с.
4. Курицкий, Поиск оптимальных решений в EXCEL – М., 2000, 245 с.
5. Политова И.Д. Дисперсионный и корреляционный анализ в эконометрике. Учебное пособие для экономических факультетов. М.: Дело, 1998. – 248 с.
6. Пучков В.Ф., Эконометрика – учебное пособие, Гатчина, 2001, 56 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выбор оптимальной  линии тренда

 

Для Х₁: y = 0,0025x³ - 0,0794x² - 0,2221x + 20,011 ; R² = 0,955

Для Х₂: y = -0,0256x³ + 0,9027x² - 10,033x + 51,682; R² = 0,7861

Для У: y = -0,0112x³ + 0,394x² - 4,4558x + 46,271; R² = 0,8051

Прогноз для t = 23

 

X₁= 0,0025*23^3-0.0794*23^2-0.2221*23+20.011; X₁=3.3176

X₂=-0.025*23^3 +0.9027*23^2-10.033*23+51.682; X₂=-5.7237

Y=-0.0112*23^3+0.394*23^2-4.4558*23+46.271; Y=15.9432