Определение параметров нестационарного нелинейного уравнения регрессии

Л Е Н И  Н Г Р А Д С К И Й  О Б Л А С Т Н ОЙ  И  Н С Т И Т У Т

 Э К О  Н О М И К И  И   Ф И Н А Н С О В

 

 

Экономический факультет

 

Кафедра математики и информатики

 

 

 

 

 

 

 

 Лабораторная  работа №3

 

 

по курсу "Эконометрика"

 

на тему: "Определение  параметров нестационарного нелинейного уравнения регрессии "

 

(вариант №  11)

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент

дневного отделения

III курса группы №102

Грицкевич Т.И.

 

 

 

 

 

Гатчина

2002

 

С о д е р ж а н и  е:                                              

                                                                              

                                                                                                                                            

                                                                                                                                              стр.                                                                                                                         

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 3

ГЛАВА 2. ПРОВЕРКА НАЛИЧИЯ  АНОМАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

МЕТОДОМ ИРВИНА 4

ГЛАВА 3. ПРИВЕДЕНИЕ ИСХОДНОГО  НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

РЕГРЕССИИ К ЛИНЕЙНОМУ  ПУТЕМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ 5

ГЛАВА 4. ПРОВЕРКА НАЛИЧИЯ  МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ МЕЖДУ 

ФАКТОРАМИ 7

ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЯ  РЕГРЕССИИ 9

ГЛАВА 6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ УРАВНЕНИЯ

В ЦЕЛОМ И ОТДЕЛЬНЫХ  КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ 12

ГЛАВА 7.ПРОВЕРКА ОТСУТСТВИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ И

АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ОСТАТКОВ, АДЕКВАТНОСТЬ И ТОЧНОСТЬ

УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ 14

      7.1. ПРОВЕРКА  ОТСУТСТВИЯ ИЛИ НАЛИЧИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧ-

НОСТИ ИССЛЕДУЕМОЙ МОДЕЛИ 14

7.2. ПРОВЕРКА ОТСУТСТВИЯ  АВТОКОРРЕЛЯЦИИ 15

7.3 ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ  РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ 17

7.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧНОСТИ  МОДЕЛИ 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной работе необходимо рассмотреть  линейную модель изучаемого экономического объекта. В качестве объекта исследования представлен производственный процесс, о котором известны следующие  статистические данные:

1. Y(t) – ставка % рефинансирования Центробанка;

2. Х₁(t) – уровень безработицы, %

3. Х₂(t) – уровень инфляции, %

Для заданного варианта совокупности предприятий требуется найти  коэффициенты линейной модели уравнения  множественной регрессии вида:

 

Y(t) = A(t) + b₁/x₁ + b₂*x₂^2/3       (1)

где   А(t)=a₀-b₀*t

Значения величин Y(t), Х₁(t), Х₂(t) даны в таблице1 “Исходные данные”.

Данное нестационарное нелинейное уравнение требуется привести к  линейному уравнению вида:

у = а₀ + b₁x₁ + b₂x₂       (2)

Необходимо проверить наличие  аномальных наблюдений, используя метод Ирвина, проверить наличие мультиколлинеарности между факторами, определить параметры уравнения регрессии, используя замену переменной.

Также необходимо  проверить статистическую значимость уравнения в целом  и отдельных коэффициентов уравнения. Это позволит оценить адекватность полученной модели исследуемому процессу и возможность её использования для осуществления анализа и проектирования.

Кроме того, требуется проверить  отсутствие гетероскедастичности и  автокорреляции остатков исследуемой модели, а также установить адекватность и точность уравнения регрессии.

Исходные данные                                Таблица 1

t	Х1	Х2	У
1	20	45	42,04
2	20	25	35,87
3	18	30	37,19
4	16	30	36,29
5	19	25	34,44
6	16	25	33,56
7	14	15	29,43
8	17	12	28,47
9	13	14	28,11
10	11	15	31,06
11	12	12	27,52
12	11	15	28,25
13	9	17	32,29
14	7	18	30,23
15	8	19	29,9
16	6	20	32,82
17	4	24	32,29
18	6	12	26,47
19	3	8	27,63
20	4	6	24,39

Глава 2. Проверка наличия аномальных НАБЛЮДЕНИЙ методом Ирвина

 

Под аномальным уравнением понимается отдельное значение уровней временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое оставаясь в качестве уровня ряда оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, в том числе и на соответствующую трендовую модель.

Причинами аномальных явлений могут  быть ошибки технического порядка, или  ошибки первого рода, они подлежат выявлению и устранению.

Кроме того, аномальные ровни во временных  рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически. Их относят к ошибкам второго рода, которые не подлежат устранению.

Для выявления аномальных наблюдений может быть использован метод  Ирвина. В этом случае вычисляется коэффициент λ_t, равный:

 

                                                  

 

 

Расчетные значения λ₂, λ₃,… сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина  λ_α. Если оказывается, что расчетное значение λ_t больше табличного λ_α, то соответствующее значение у_t уровня ряда считается аномальным.

После выявления аномальных уровней  ряда обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются обычно заменой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой значением соответствующей трендовой кривой.

 

При проверке наличия аномальных колебаний  с использованием метода Ирвина, получили следующие расчетные значения коэффициента λ_t:

 

λ1	λ2	Λ3	λ4	λ5	λ6	λ7	λ8	λ9	λ10	λ11	λ12	λ13	λ14	λ15	λ16	λ17	λ18	λ19	λ20
-	1,4	0,3	0,2	0,4	0,2	1,0	0,2	0,1	0,7	0,8	0,2	0,9	0,5	0,1	0,7	0,1	1,4	0,3	0,8

 

Сравнивая найденные значения коэффициента λ_t с табличным значением λ_α, равным 1,3 для уровня значимости α = 0,05 и при n = 20 (число уровней временного ряда), получаем, что отдельные значения уровней ряда превосходят значение λ_α, следовательно, делаем вывод о том, что в данной модели присутствуют аномальные колебания, вызванные ошибками второго рода, которые устранению не подлежат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Приведение исходного нелинейного  уравнения регрессии к линейному  путем замены переменной

 

Многие экономические процессы наилучшим образом описываются  нелинейными уравнениями регрессии. Например, функции спроса и производственные функции. Исходя из этого, одним  из недостатков линейного регрессионного анализа является то, что он может быть применен только к линейным уравнениям. В общем случае линейные уравнения выглядят так, что каждая объясняющая переменная, за исключением постоянной величины, записывается в виде произведения переменной и коэффициента:

 

у_i = α + β₁x_1i + β₂x_2i + …

 

Уравнения вида у = α + β/x или у_i = αx ^β являются нелинейными.

Уравнение является линейным в двух смыслах:

• если правая часть уравнения линейно-попеременна, если определить их в представленном виде, а не как функции, следовательно, она состоит из взвешенной суммы переменной а параметры являются весами;
• если правая часть уравнения линейна по параметрам, так как она состоит из взвешенной суммы параметров, а переменные х в данном случае являются весами.

Для целей линейного регрессионного анализа важное значение имеет только второй тип линейности.

Нелинейность по переменным всегда можно обойти путем использования соответствующих операций.

 

Рассмотрим нелинейное уравнение:

Y(t) = A(t) + b₁/x₁ + b₂*x₂^2/3

A(t) = a₀ – b₀*t

 

Y(t) – ставка % рефинансирования Центробанка

x₁(t) – уровень безработицы, в %

x₂(t) – уровень инфляции, в %

 

Обозначим 1/x₁ = Z₁

                       х₂^2/3 = Z₂

 

Y(t) = a₀ – b₀*t  + b₁Z₁ + b₂Z₂

 

Полученное уравнение является линейным как по переменным, так  и по параметрам. Следовательно, линейность уравнения достигается путем  замены переменных.

  Определение z₁ и z₂ производится путем предварительной обработки данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2  

T	Z1	Z2	У
1	0,05	12,65	42,04
2	0,05	8,55	35,87
3	0,06	9,65	37,19
4	0,06	9,65	36,29
5	0,05	8,55	34,44
6	0,06	8,55	33,56
7	0,07	6,08	29,43
8	0,06	5,24	28,47
9	0,08	5,81	28,11
10	0,09	6,08	31,06
11	0,08	5,24	27,52
12	0,09	6,08	28,25
13	0,11	6,61	32,29
14	0,14	6,87	30,23
15	0,13	7,12	29,9
16	0,17	7,37	32,82
17	0,25	8,32	32,29
18	0,17	5,24	26,47
19	0,33	4,00	27,63
20	0,25	3,30	24,39

 

 

В этом случае определение параметров a₀, b₀, b₁, b₂ производится обычным методом наименьших квадратов.