Необходимые и достаточные условия минимума функций нескольких переменных

u=f(x ₁ , x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

Так как мы предположили, что в точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x ₁ ⁰ - , x ₁ ⁰ + ) точки x ₁ = x ₁ ⁰ , необходимо должно выполняться неравенство

f(x ₁ , x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

так что упомянутая выше функция одной  переменной в точке x ₁ = =x ₁ ⁰ будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

f _x1 ’(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=0

Таким образом можно показать, что в  точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум  являются те точки, в которых частные  производные первого порядка  все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f _x1 ’(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=0

                                                    f ’ _xn (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :

d f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n )=0

так как, если f _x1 ’= f _x2 ’=…= f ’ _xn , то каковы бы ни были dx ₁ ,dx ₂ ,…,dx _n всегда

f(x ₁ ,x ₂ d,…,x _n )= f _x1 ’ dx ₁ + f _x2 ’ dx ₂ +…+ f ’ _xn dx _n =0

И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx ₁ ,dx ₂ ,…,dx _nпроизводные f _x1 ’, f _x2 ’,…, f ’ _xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к “подозрительным” по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда  дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности – графика функции).  

3.2.Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной  переменной, необходимый признак  экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных  производных в данной точке вовсе  не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций  нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.

Пусть функция f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ).Разлагая разность

= f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n )-f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

по формyле Тейлора, получим

= { f _x ’’ x ₁ ² +f _x ’’ x ₂ ² +…+f _x ’’ x _n ² +2f _x1x2 ’’ x ₁ x ₂ + +2f _x1x3 ’’ x ₁ x ₃ +…+2f _xn-1xn ’’ x _n-1 x _n }= f _xixj ’’ x _i x _j

где x= x _i -x _i ⁰ ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n ) (0 0 1)

Введём  и здесь значения

f _xixj ’’ (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=a _ik (i,k=1,2,…,n)

так что

f _xixj ’’ (x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n )= a _ik + _ik

и

_ik 0 при x ₁ 0,…, x _n 0

Теперь  интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { a _ik x _i x _k + _ik x _i x _k }

На  первом месте в скобках здесь  стоит второй дифференциал функции  f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x ₁ ,…, x _n . От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

a _ik y _i y _k (a _ik = a _ki )

от  переменных y ₁ ,…,y _n называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма была определенной и положительной принадлежит ,как было уже сказано выше , Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a ₁₁ a ₁₂ … a _1n

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ , a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0,…, a ₂₁ a ₂₂ … a _2n

a ₃₁ a ₃₂ a _{33 …………………}

a _n1 a _n2 … a _nn

Так как определенная отрицательная  форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные  для существования экстремума условия :

Если  второй дифференциал,т. е. квадратичная форма

a _ik x _i x _k 

со  значениями коэффициентов – оказывается  определенной положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…, x _n ⁰ ) будет собственный минимум (максимум).

Для доказательства введем расстояние

= x ₁ ² +…+ x _n ²

между точками (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) и (x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ). Вынося в за скобку и полагая

x _i (i=1,2,…,n)   

перепишем выражение для в виде

= { a _ik E _i E _k + _ik E _i E _k }

Числа E _i зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма – положительная, первая сумма в скобках в формуле иммет всегда положительный знак. Больше того, так как

E _i =1

то  найдется такое постоянное положительное  число m, что при всех возможных значениях E _i будет

a _ik E _i E _k m

Действительно, эта сумма представляет собой  непрерывную функцию от аргументов E _i во всем пространстве,в частности же и в множестве М тех точек(E ₁ ,…, E _n ), которые удовлетворяют соотношению (“сферическая поверхность”). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М).

С другой стороны,. ввиду вторая сумма в для достаточно малых ,очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (x ₁⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) имеет собственный минимум.

Аналогично  исчерпывается и случай, когда форма  будет определенной, но отрицательной.

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a ₁₁ a ₁₂ … a _1n

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ , a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0,…,(-1) ⁿ a ₂₁ a ₂₂ … a _2n

a ₃₁ a ₃₂ a _{33 …………………}

a _n1 a _n2 … a _nn  

3.3.Экстремумы на множествах.

Следует обратить внимание на то, что мы указали  необходимые и достаточные условия  экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким  образом, при отыскании абсолютного  максимума или минимума функции  необходимо наряду с внутренними  критическими точками функции исследовать  также точки границы области  определения, поскрльку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.

Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G.

В случае, когда G – плоская область  и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением x=x(t), y=y(t), t вопрос о нахождении экстремальных значений функции f(x,y) на границе G сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного f(x(t),y(t)), что делается уже известными нами методами.

Методы, которые можно применять в  многомерном случае для отыскания  экстремальных точек на границе  области будут рассмотрены позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму).

Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и минимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если рассматриваемая в R ⁿ дифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она принимает минимальное знычение.